- Норма группы
-
Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп.
Курсив обозначает ссылку на этот словарь.
# А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
P
p-группа — группа, все элементы в которой имеют порядок, равный некоторой степени простого числа p (не обязательно одинаковой у всех элементов). Также говорят о примарной группе. Более подробно см. в статье конечная p-группа.
А
Абелева группа. см. коммутативная группа
Аддитивная группа кольца ― группа, элементами которой являются все элементы данного кольца, а операция совпадает с операцией сложения в кольце.
Антигомоморфизм групп — отображение групп f : (G,*) → (H,×) такое, что
- f(a * b) = f(b) × f(a)
для произвольных a и b в G (сравните с гомоморфизмом).
Г
Главный ряд подгрупп — ряд подгрупп, в котором Gi — максимальная нормальная в G подгруппа из Gi + 1, для всех членов ряда.
Гомоморфизм групп — отображение групп такое, что
- для произвольных a и b в G.
Группа Шмидта — это ненильпотентная группа, все собственные подгруппы которой нильпотентны.
Группа Миллера — Морено — это неабелева группа, все собственные подгруппы которой абелевы.
Групповая алгебра группы G над полем K — это векторное пространство над K, образующими которого являются элементы G, а умножение образующих соответсвует умножению элементов G.
Д
Длина ряда подгрупп — число n в определении ряда подгрупп.
Е
Естественный гомоморфизм на факторгруппу по нормальной подгруппе H — это гомоморфизм, ставящий в соответствие каждому элементу a группы смежный класс aH. Ядром этого гомоморфизма является подгруппа H.
И
Изоморфизм групп — биективный гомоморфизм.
Изоморфные группы — группы, между которыми существует хотя бы один изоморфизм.
Индекс подгруппы H в группе G — число смежных классов в каждом (правом или левом) из разложений группы G по этой подгруппе H.
Индексы ряда подгрупп — индексы | Gi + 1:Gi | в определении субнормального ряда подгрупп.
К
Класс смежности/смежный класс (левый или правый) подгруппы H в G. Левый класс смежности элемента по подгруппе H в G есть множество
Аналогично определяется правый класс смежности:
Класс сопряжённости элемента есть множество
Коммутант группы есть подгруппа, порождённая всеми коммутаторами группы, обычно обозначается [G,G] или .
Коммутативная группа. Группа G является коммутативной, или абелевой, если её операция * коммутативна, то есть g*h=h*g .
Коммутатор элементов g и h есть элемент [g,h] = ghg − 1h − 1.
Коммутатор подгрупп — множество всевозможных произведений .
Композиционный ряд группы G — ряд подгрупп, в котором все факторы Gi + 1 / Gi — простые группы.
Конечная группа — группа с конечным числом элементов.
Конечная p-группа — p-группа конечного порядка pn.
Конечно определённая группа — группа, обладающая конечным числом образующих и задаваемая в этих образующих конечным числом соотношений.
Конечнопорождённая абелева группа
Конечнопорождённая группа — группа, обладающая конечной системой образующих.
Кручение, TorG, коммутативной или нильпотентной группы G есть подгруппа всех элементов конечного порядка.
Л
Локальное свойство группы G. Говорят, что группа G обладает локальным свойством P, если любая конечно порождённая подгруппа из G обладает этим свойством. Примерами могут служить локальная конечность, локальная нильпотентность.
Локальная теорема. Говорят, что для некоторого свойства P групп справедлива локальная теорема, если всякая группа, локально обладающая этим свойством, сама обладает им.
- Например: локально абелева группа является абелевой, но локально конечная группа может быть бесконечной.
М
Метабелева группа ― группа, второй коммутант которой тривиален (разрешимая ступени 2).
Метациклическая группа ― группа, обладающая циклической нормальной подгруппой, факторгруппа по которой также циклическая. Всякая конечная группа, порядок которой свободен от квадратов (то есть не делится на квадрат какого-либо числа), является метациклической.
Минимальная нормальная подгруппа
Мультипликативная группа тела ― группа, элементами которой являются все ненулевые элементы данного тела, а операция совпадает с операцией умножения в теле.
Н
Нильпотентная группа — группа, обладающая центральным рядом подгрупп. Минимальная из длин таких рядов называется её классом нильпотентности.
Норма группы — совокупность элементов группы, перестановочных со всеми подгруппами, то есть пересечение нормализаторов всех её подгрупп.
Нормализатор подгруппы H в G — это максимальная подгруппа G, в которой H нормальна. Иначе говоря, нормализатор есть стабилизатор H при действии G на множестве своих подгрупп сопряжениями, то есть
Нормальная подгруппа (инвариантная подгруппа, нормальный делитель). H есть нормальная подгруппа G, если для любого элемента g в G gH = Hg, то есть правые и левые классы смежности H в G совпадают. Иначе говоря, если .
Нормальный ряд подгрупп — ряд подгрупп, в котором Gi нормальна в G, для всех членов ряда.
П
Перестановочные элементы — пара элементов такие что ab = ba.
Период группы ― наименьшее общее кратное порядков элементов данной группы.
Периодическая группа ― группа, каждый элемент которой имеет конечный порядок.
Подгруппа — подмножество H группы G, которое является группой относительно операции, определённой в G.
Подгруппа кручения см. кручение.
Для произвольного подмножества S в G, <S> обозначает наименьшую подгруппу G, содержащую S.
Подгруппа Томпсона J(G) группы G — подгруппа, порождённая всеми абелевыми подгруппами максимального порядка из G.
Подгруппа Фиттинга F(G) группы G — подгруппа, порождённая всеми нильпотентными нормальными подгруппами из G.
Подгруппа Фраттини Φ(G) группы G — есть пересечение всех максимальных подгрупп группы G, если таковые существуют, и сама группа G в противном случае.
Полупрямое произведение групп G и H над гомоморфизмом (обозначается по разному, в том числе G ⋊φ H) — множество G × H, наделенное операцией *, для которой (g1,h1) * (g2,h2) = (g1φ(h1)(g2),h1h2) для любых , .
Порядок группы (G,*) — мощность G (то есть число её элементов).
Порядок элемента g группы G — минимальное натуральное число m такое, что gm = e. В случае, если такого m не существует, считается, что g имеет бесконечный порядок.
Простая группа — группа, в которой нет нормальных подгрупп, кроме тривиальной {e} и всей группы.
Примарная группа — группа, все элементы в которой имеют порядок, равный некоторой степени простого числа p (не обязательно одинаковой у всех элементов). Также говорят о p-группе.
Прямое произведение двух групп (G,·) и (H,•) есть множество G×H пар, наделённое операцией покомпонентного умножения: (g1,h1)(g2,h2) = (g1 · g2,h1•h2).
Р
Расширение группы — группа, содержащая данную группу в качестве нормальной подгруппы.
Разрешимая группа — группа, обладающая нормальным рядом подгрупп с абелевыми факторами. Наименьшая из длин таких рядов называется её ступенью разрешимости.
Разрешимый радикал S(G) группы G — подгруппа, порождённая всеми разрешимыми нормальными подгруппами из G.
Ряд подгрупп — конечная последовательность подгрупп G0,G1,...,Gn называется рядом подгрупп, если , для всех . Такой ряд записывают в виде
или в виде
С
Сверхразрешимая группа — группа, обладающая нормальным рядом подгрупп с циклическими факторами.
Свободная группа, порождённая множеством A — это группа, порождённая элементами этого множества и не имеющая никаких соотношений, кроме соотношений, определяющих группу. Все свободные группы, порождённые равномощными множествами, изоморфны.
Силовская подгруппа — p-подгруппа в G, имеющая порядок pn, где | G | = pns, НОД(p,s) = 1.
Соотношение — тождество, которому удовлетворяют образующие группы (при задании группы образующими и соотношениями).
Стабилизатор элемента p множества M, на котором действует группа G — подгруппа , все элементы которой оставляют p на месте: .
Субнормальный ряд подгрупп — ряд подгрупп, в котором подгруппа Gi нормальна в подгруппе Gi + 1, для всех членов ряда.
Ф
Факторгруппа группы G по нормальной подгруппе H есть множество классов смежности подгруппы H с умножением, определяемым следующим образом:
- (aH) * (bH) = (ab)H.
Факторы субнормального ряда — фактор-группы Gi + 1 / Gi в определении субнормального ряда подгрупп.
Х
Характеристическая подгруппа — подгруппа, инвариантная относительно всех автоморфизмов группы.
Холлова подгруппа — подгруппа, порядок которой взаимно прост с её индексом во всей группе.
Ц
Центр группы G, обычно обозначается Z(G), определяется как
- Z(G) = { | gh = hg для любого },
иначе говоря, это максимальная подгруппа элементов, коммутирующих с каждым элементом G.
Централизатор элемента есть максимальная подгруппа, коммутирующая с этим элементом.
Центральный ряд подгрупп — нормальный ряд подгрупп, в котором , для всех членов ряда.
Циклическая группа — группа, состоящая из порождающего элемента и всех его целых степеней. Конечна в случае, если порядок порождающего элемента конечен.
Э
Экспонента exp(G) конечной группы G — числовая характеристика группы, равная наименьшему общему кратному порядков всех элементов группы G.
Я
Ядро гомоморфизма — прообраз нейтрального элемента при гомоморфизме. Ядро всегда есть нормальная подгруппа, более того, любая нормальная подгруппа есть ядро некоторого гомоморфизма.
Литература
- Винберг Э.Б. Курс алгебры. — 3-е изд.. — Москва: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7
Wikimedia Foundation. 2010.