- Конечнопорождённая абелева группа
-
В абстрактной алгебре абелева группа
называется конечнопорождённой, если существует конечный набор
, такой что
существует представление
где
— целые числа. В таком случае говорится, что
порождает группу
или что
порождают
.
Очевидно, каждая конечная абелева группа является конечнопорождённой. Конечнопорождённые абелевы группы имеют сравнительно простую структуру и могут быть полностью классифицированы.
Примеры
- Целые числа
являются конечнопорождённой абелевой группой.
- Числа по модулю
являются конечнопорождённой абелевой группой.
- Любое прямое произведение конечного числа конечнопорождённых абелевых групп также является конечнопорождённой абелевой группой.
Нет других конечнопорождённых групп. Группа
рациональных чисел не является конечнопорожденной: если
, возьмём натуральное число
, взаимно простое со всеми их знаменателями; тогда
не может быть порождено
.
Классификация
Теорема о классификации конечнопорожденных абелевых групп утверждает, что любая конечнопорождённая абелева группа
изоморфна прямому произведению простых циклических групп и бесконечных циклических групп, где простая циклическая группа — это такая циклическая группа, чей порядок является степенью простого числа. Что значит, что каждая такая группа изоморфна группе вида
где
, и числа
являются (не обязательно различными) степенями простых чисел. Значения
однозначно определены (с точностью до порядка) группой
, в частности,
конечна тогда и только тогда, когда
.
На основании того факта что
будет изоморфно произведению
и
тогда и только тогда, когда
и
взаимно просты и
, мы также можем представить любую конечнопорождённую группу
в форме прямого произведения
где
делит
, который делит
и так далее до
. И снова, числа
и
однозначно заданы группой
.
См. также
Для улучшения этой статьи по математике желательно?: - Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.
Категория:- Теория групп
Wikimedia Foundation. 2010.