Конечнопорождённая абелева группа

Конечнопорождённая абелева группа

В абстрактной алгебре абелева группа (\mathbb{G},\;+) называется конечнопорождённой, если существует конечный набор x_1,\;\ldots,\;x_s \in \mathbb{G}, такой что \forall x \in \mathbb{G} существует представление

x = n_1 x_1 + n_2 x_2 + \ldots + n_s x_s,

где n_1,\;\ldots,\;n_s — целые числа. В таком случае говорится, что \{ x_1,\;\ldots,\;x_s \} порождает группу \mathbb{G} или что x_1,\;\ldots,\;x_s порождают \mathbb{G}.

Очевидно, каждая конечная абелева группа является конечнопорождённой. Конечнопорождённые абелевы группы имеют сравнительно простую структуру и могут быть полностью классифицированы.

Примеры

  • Целые числа (\mathbb{Z},\;+) являются конечнопорождённой абелевой группой.
  • Числа по модулю (\mathbb{Z}_n,\;+) являются конечнопорождённой абелевой группой.
  • Любое прямое произведение конечного числа конечнопорождённых абелевых групп также является конечнопорождённой абелевой группой.

Нет других конечнопорождённых групп. Группа (\mathbb{Q},\;+) рациональных чисел не является конечнопорожденной: если x_1,\;\ldots,\;x_s \in \mathbb{Q}, возьмём натуральное число w, взаимно простое со всеми их знаменателями; тогда 1/w не может быть порождено x_1,\;\ldots,\;x_s \in \mathbb{Q}.

Классификация

Теорема о классификации конечнопорожденных абелевых групп утверждает, что любая конечнопорождённая абелева группа  \mathbb{G} изоморфна прямому произведению простых циклических групп и бесконечных циклических групп, где простая циклическая группа — это такая циклическая группа, чей порядок является степенью простого числа. Что значит, что каждая такая группа изоморфна группе вида

\mathbb{Z}^n \oplus \mathbb{Z}_{m_1} \oplus \ldots \oplus \mathbb{Z}_{m_t},

где n \geqslant 0, и числа m_1,\;\ldots,\;m_t являются (не обязательно различными) степенями простых чисел. Значения n,\;m_1,\;\ldots,\;m_t однозначно определены (с точностью до порядка) группой  \mathbb{G} , в частности,  \mathbb{G} конечна тогда и только тогда, когда  n = 0 .

На основании того факта что  \mathbb{G}_m будет изоморфно произведению  \mathbb{G}_j и  \mathbb{G}_k тогда и только тогда, когда j и k взаимно просты и m = j k, мы также можем представить любую конечнопорождённую группу  \mathbb{G} в форме прямого произведения

\mathbb{Z}^n \oplus \mathbb{Z}_{k_1} \oplus \ldots \oplus \mathbb{Z}_{k_u},

где k_1 делит k_2, который делит k_3 и так далее до k_u. И снова, числа n и k_1,\;\ldots,\;k_u однозначно заданы группой  \mathbb{G} .

См. также



Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Конечнопорождённая абелева группа" в других словарях:

  • Конечнопорождённая группа — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У …   Википедия

  • Конечнопорожденная абелева группа — В абстрактной алгебре абелева группа называется конечнопорождённой, если существует конечный набор , такой что существует представление где   целые числа. В таком случае говорится, что …   Википедия

  • Конечно определенная группа — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У …   Википедия

  • Конечно определённая группа — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У …   Википедия

  • Конечнопорожденная группа — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У …   Википедия

  • Метациклическая группа — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У …   Википедия

  • Мультипликативная группа поля — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У …   Википедия

  • Периодическая группа — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У …   Википедия

  • Циклическая группа — В теории групп группа называется циклической, если она может быть порождена одним элементом a, то есть все её элементы являются степенями a (или, если использовать аддитивную терминологию, представимы в виде na, где n  целое число).… …   Википедия

  • Фактор-группа — Пусть G  группа, и H  её нормальная подгруппа, то есть для любого элемента его правый и левый классы смежности совпадают: aH = Ha Тогда на классах смежности H в G можно ввести умножение: (aH)(bH) = abH Легко проверить что это умножение не зависит …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»