Коммутант

Коммутант

Слово «коммутант» в алгебре может означать два разных, но родственных понятия: коммутант группы или коммутант алгебры. Коммутант — это некоторая подструктура (подгруппа, подалгебра), равная нулю тогда и только тогда, когда умножение в данной структуре (группе, аглебре) коммутативно: ab=ba для всех пар элементов a,b. Таким образом коммутант позволяет измерять степень некоммутативности умножения. Абстрактно он определяется как ядро гомоморфизма данной структуры в её абелизацию.

Коммутант группы

Коммутант группы G~ (производная группа или второй член нижнего центрального ряда группы) — множество всевозможных произведений конечного числа коммутаторов пар элементов группы G~. Обычно коммутант группы G~ обозначается [G, G]~, G'~, T_2(G)~ или K(G). Он является наименьшей нормальной подгруппой, фактор по которой абелев.

 [G,G] = \langle ghg^{-1}h^{-1} \vert g,h\in G \rangle

Здесь \langle ~ \rangle обозначает подгруппу, порождённую указанным множеством элементов. Выражение ghg^{-1}h^{-1} называется коммутатором элементов g и h, обозначается [g,h].

Более общо, если L,M~ — подмножества G~, то их взаимным коммутантом называют подгруппу [L,M]=\langle[a,b]:a\in L,b\in M\rangle~.

  • Коммутант группы является вполне характеристической подгруппой, а любая подгруппа, содержащая коммутант, является нормальной.
  • Факторгруппа по некоторой нормальной подгруппе абелева тогда и только тогда, когда эта подгруппа содержит коммутант группы. Факторизация группы G по её коммутанту называется абелизацией и обозначается G_{ab} или G^{ab}.
  • Взаимный коммутант нормальных подгрупп — нормальная подгруппа.
  • g[L,M]g^{-1}=[gLg^{-1},gMg^{-1}]~
  • Абелизацию группы G можно вычислить как первые целочисленные гомологии группы G:
G_{ab} = \mathrm{H}_1 (G, \mathbb{Z} )
  • Забывающий функтор из категории абелевых групп в категорию всех групп имеет левый сопряжённый — функтор абелизации, сопоставляющий группе её фактор по коммутанту и очевидно действующий на морфизмах.
  • Теорема Гуревича в топологии утверждает, что для связного клеточного пространства H_1(X)=\pi_1(X)_{ab}. Таким образом теорию гомологий в топологии можно рассматривать как абелизацию теории гомотопий. Это утверждение можно сделать точным (теорема Дольда—Тома).

Коммутант алгебры

Пусть A — некоторая алгебра. Её коммутантом называется двусторонний идеал, порождённый коммутаторами её элементов. Это наименьший идеал, фактор по которому коммутативен.

[A,A] = \langle [a,b] \vert a,b\in A \rangle

Здесь [a,b]=ab-ba — коммутатор элементов a,b, \langle ~ \rangle — идеал, порождённый данным множеством.

Литература

  • Курош А.Г. Теория групп. — 3-е изд. — М.: Наука, 1967. — 648 с.
  • Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. — 5-е изд. — Лань, 2009. — 288 с. — ISBN 978-5-8114-0894-8



Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Коммутант" в других словарях:

  • Коммутант — небольшая компания, специализирующаяся на быстром обслуживании, предоставлении не больших по объему нестандартных разовых услуг. Словарь бизнес терминов. Академик.ру. 2001 …   Словарь бизнес-терминов

  • КОММУТАНТ — [< коммунист + мутант] совр. пейоративное (уничижительное) выражение, характеризующее бывших коммунистов, перекрасившихся в ярых защитников капитализма. Термин употреблен Б.Олейником в 1992 г. См. ПЕЙОРАЦИЯ. Словарь иностранных слов. Комлев Н.Г …   Словарь иностранных слов русского языка

  • коммутант — централизатор Словарь русских синонимов …   Словарь синонимов

  • КОММУТАНТ — небольшое специализированное предприятие, ориентированное в своей работе на текущее удовлетворение маломасштабных, разовых потребностей. Райзберг Б.А., Лозовский Л.Ш., Стародубцева Е.Б.. Современный экономический словарь. 2 е изд., испр. М.:… …   Экономический словарь

  • КОММУТАНТ — небольшое специализированное предприятие, ориентированное на текущее удовлетворение мелкомасштабных, разовых потребностей …   Энциклопедический словарь экономики и права

  • КОММУТАНТ — группы, производная группа, второй член нижнего центрального ряда групп ы, подгруппа, порождаемая в группе Gвсевозможными коммутаторами элементов группы G. Обычно К. группы Gобозначается [G, G], или G , или Г 2(G). К. группы является вполне… …   Математическая энциклопедия

  • КОММУТАНТ — небольшое неспециализированное предприятие, работающее на мгновенное удовлетворение небольших по объему, нестандартных, разовых, местных потребностей …   Большой экономический словарь

  • коммутант — Syn: централизатор …   Тезаурус русской деловой лексики

  • коммутант —    небольшое специализированное предприятие, ориентированное в своей работе на текущее удовлетворение маломасштабных, разовых потребностей …   Словарь экономических терминов

  • Коммутант группы — Слово «коммутант» в математике может означать два разных понятия: коммутант группы или коммутант алгебры. Содержание 1 Коммутант группы 1.1 Определение 1.2 Свойства 2 …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»