Примарная группа

Группа называется конечной p-группой, если она имеет порядок, равный некоторой степени простого числа.

Основные свойства конечных p-групп

Пусть P — конечная p-группа, тогда

• P — нильпотентна.
• | Z(P) | > 1, где Z(P) — центр группы P.
• Для любого $1\leq k <n$ в P существует нормальная подгруппа порядка p^k.
• Если H нормальна в P, то $|H\cap Z(P)|>1$.
• $P'\leq \Phi(P)$.
• $P/\Phi(P)\cong E_{p^d}$.

Некоторые классы конечных p-групп

В данном разделе описаны определения и свойства некоторых клаccов конечных p-групп, которые часто рассматриваются в научной литературе.

p-группы максимального класса

Конечная p-группа порядка pⁿ называется группой максимального класса, если её ступень нильпотентности равна n − 1.

Если P — конечная p-группа максимального класса, то P' = Φ(P) и | Z(P) | = p.

Единственными 2-группами порядка 2ⁿ максимального класса являются: диэдральная группа $D_{2^n}$, обобщённая группа кватернионов $Q_{2^n}$ и полудиэдральная группа $SD_{2^n}$.

В отличие от 2-групп, случай p-групп максимального класса при p>2 значительно более сложен.

p-центральные p-группы

Конечная p-группа называется p-центральной, если $\Omega_1(P)\leq Z(P)$. Понятие двойственно, в некотором смысле, понятию мощной p-группы.

Мощные p-группы

Конечная p-группа называется мощной, если $[P,P]\leq P^p$ при $p\neq 2$ и $[P,P]\leq P^4$ при p = 2. Понятие двойственно, в некотором смысле, понятию p-центральной p-группы.

Регулярные p-группы

Конечная p-группа P называется регулярной, если для любых $x,y\in P$ выполнено (xy)^p = x^py^pc^p, где $c\in P'$. Регулярными будут, например, все абелевы p-группы. Группа не являющаяся регулярной, называется нерегулярной.

• Любая подгруппа и факторгруппа регулярной p-группы регулярна.
• Конечная p-группа регулярна, если любая её подгруппа, порождённая двумя элементами регулярна.
• Конечная p-группа порядка не большего p^p является регулярной.
• Конечная p-группа класс нильпотентности которой меньше p является регулярной. Также регулярны все группы класса нильпотентности 2 при p > 2.
• Любая конечная неабелева 2-группа является нерегулярной.

Конечные p-группы небольших порядков

Число различных p-групп порядка pⁿ

• Число неизоморфных групп порядка p равно 1: группа C_p.
• Число неизоморфных групп порядка p² равно 2: группы $C_{p^2}$ и $C_{p}\times C_{p}$.
• Число неизоморфных групп порядка p³ равно 5, из них три абелевы группы: $C_{p^3}$, $C_{p^2}\times C_{p}$, $C_{p}\times C_{p}\times C_{p}$ и две неабелевы: при p > 2 — $E_{p^3}^+$ и $E_{p^3}^-$; при p = 2 — D₈, Q₈.
• Число неизоморфных групп порядка p⁴ равно 15 при p > 2, число групп порядка 2⁴ равно 14.
• Число неизоморфных групп порядка p⁵ равно 2p + 61 + 2GCD(p − 1,3) + GCD(p − 1,4) при $p\geq 5$. Число групп порядка 2⁵ равно 51, число групп порядка 3⁵ равно 67.
• Число неизоморфных групп порядка p⁶ равно 3p² + 39p + 344 + 24GCD(p − 1,3) + 11GCD(p − 1,4) + 2GCD(p − 1,5) при $p\geq 5$. Число групп порядка 2⁶ равно 267, число групп порядка 3⁶ равно 504.
• Число неизоморфных групп порядка p⁷ равно 3p⁵ + 12p⁴ + 44p³ + 170p² + 707p + 2455 + (4p² + 44p + 291)GCD(p − 1,3) + (p² + 19p + 135)GCD(p − 1,4) + (3p + 31)GCD(p − 1,5) + 4GCD(p − 1,7) + 5GCD(p − 1,8) + GCD(p − 1,9) при p > 5. Число групп порядка 2⁷ равно 2328, число групп порядка 3⁷ равно 9310, число групп порядка 5⁷ равно 34297.

p-группы порядка p^n, асимптотика

При $n\rightarrow\infty$ число неизоморфных групп порядка pⁿ асимптотически равно $p^{(2/27+O(n^{-1/3}))n^3}$.

Знаменитые проблемы теории конечных p-групп

Группа автоморфизмов конечной p-группы

Для групп p-автоморфизмов конечной p-группы существуют несложные верхние оценки, однако оценки снизу гораздо сложнее. В течение более полувека остаётся открытой следующая гипотеза:

• Пусть P является нециклической p-группой порядка $|P|\geq p^3$, тогда $P\leq |Syl_p(Aut(P))|$.

Эта гипотеза подтверждена для обширного класса p-групп: абелевых групп, для всех групп порядков не более p⁷, групп максимального класса. Однако общего подхода к этой проблеме пока не найдено.

Гипотеза Хигмена

Дж. Томпсоном была доказана известная теорема, утверждающая, что конечная группа с регулярным автоморфизмом простого порядка q нильпотентна.

• Пусть группа P обладает регулярным автоморфизмом простого порядка q. Тогда её класс нильпотентности равен $cl(P)=\frac{q^2-1}{4}$.

Пока доказаны лишь значительно более слабые оценки: cl(P) < q^q (Кострикин, Крекнин).

Ослабленная гипотеза Бернсайда

Гипотеза Бернсайда состояла в том, что если есть группа с m образующими и периодом n (то есть все её элементы x удовлетворяют соотношению xⁿ = 1), то она конечна. Если это так, обозначим максимальную из этих групп через B(m,n). Тогда все другие группы с таким же свойством будут её фактор-группами. Действительно, как легко показать группа B(m,2) является элементарной абелевой 2-группой. Ван дер Варден доказал, что порядок группы B(m,3) равен $3^{\frac{m(m^2+5)}{6}}$. Однако, как показали Новиков и Адян, при $m\geq 2$ и при любом нечётном $n\geq 4381$ группа B(m,n) бесконечна.

Ослабленная гипотеза Бернсайда утверждает, что порядки конечных m-порождённых групп периода n ограничены. Эта гипотеза была доказана Ефимом Зельмановым. Для конечных p групп она означает, что существует лишь конечное число p групп данной экспоненты и с данным числом образующих.

Нерегулярные p-группы

Классификация нерегулярных p-групп порядка p^{p + 1}.

Литература

• Белоногов В. А. Задачник по теории групп — М.: Наука, 2000.
• Винберг Э.Б. Курс алгебры. — 3-е изд.. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7
• Холл М. Теория групп. Издательство иностранной литературы — М., 1962.
• Хухро E.И. O p-группах автоморфизмов абелевых p-групп — Алгебра и логика, 39, N 3 (2000), 359—371.
• Berkovich Y. Groups of Prime Power Order, Parts I, II, (in preparation).
• Berkovich Y., Janko Z. Groups of Prime Power Order, Part III, (in preparation).
• Gorenstein D. Finite groups — N.Y.: Harper and Row, 1968.
• Huppert B. Endliche Gruppen I. — Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1967.
• Lazard M. Groupes analytiques p-adiques — Publ. Math. Inst. Hautes Etud. Sci., 26 (1965), 389—603.
• Lubotzky A., Mann A. Powerful p-groups, I: finite groups, J. Algebra, 105, N2 (1987), 484—505; II: p-adic analytic groups, ibid., 506—515.
• Weigel T. Combinatorial properties of p-central groups — Freiburg Univ., 1996, preprint.
• Weigel T. p-Central groups and Poincare duality — Freiburg Univ., 1996, preprint.

Ссылки

• Система GAP.