Парабола

У этого термина существуют и другие значения, см. Парабола (значения).

Парабола, её фокус и директриса
Коническое сечение:
Эксцентриситет:	$~\textstyle e=1$
Уравнение:	$~\textstyle y^2=2px$
гипербола  · парабола  · эллипс  · окружность

Пара́бола (греч. παραβολή — приложение) — геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой (называемой директрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы).

Наряду с эллипсом и гиперболой, парабола является коническим сечением. Она может быть определена как коническое сечение с единичным эксцентриситетом.

Изображение конического сечения, являющегося параболой

Построение параболы как конического сечения

Уравнения

Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат:

$~\textstyle y^2=2px, p>0$ (или $~\textstyle x^2=2py$, если поменять местами оси).

Число p называется фокальным параметром, оно равно расстоянию от фокуса до директрисы^[1]. Поскольку каждая точка параболы равноудалена от фокуса и директрисы, то и вершина — тоже, поэтому она лежит между фокусом и директрисой на расстоянии $\frac{p}{2}$ от обоих.

Вывод

Уравнение директрисы $~PQ$: $~\textstyle x+\frac{p}{2}=0$, фокус — $~\textstyle F\left (\frac{p}{2};0\right )$, таким образом начало координат $~O$ — середина отрезка $~CF$. По определению параболы для любой точки $~M$, лежащей на ней выполняется равенство $~KM=FM$. $~\textstyle KM=KD+DM=\frac{p}{2}+x$ и $~\textstyle FM=\sqrt{\left (x-\frac{p}{2}\right )^2+y^2}$, тогда равенство приобретает вид: $~\sqrt{\left (x-\frac{p}{2}\right )^2+y^2}=\frac{p}{2}+x$. После возведения в квадрат и некоторых преобразований получается равносильное уравнение $~y^2=2px$.

Квадратное уравнение $~y=ax^2+bx+c$ при $~a\neq 0$ также представляет собой параболу и графически изображается той же параболой, что и $~y=ax^2$, но в отличие от последней имеет вершину не в начале координат, а в некоторой точке $~A$, координаты которой вычисляются по формулам:

$~x_A=-\frac{b}{2a},\;y_A=-\frac{D}{4a},$ где $D=b^2-4ac$ — дискриминант

Ось её симметрии проходит через вершину параллельно оси ординат, при a>0 (a<0) фокус лежит на этой оси над (под) вершиной на расстоянии a/4, а директриса — под (над) вершиной на таком же расстоянии и параллельна оси абсцисс. Уравнение $~y=ax^2+bx+c$ может быть представлено в виде $~y=a(x-x_A)^2+y_A$, а в случае переноса начала координат в точку $~A$ каноническим уравнением. Таким образом для каждого квадратного уравнения можно найти систему координат такую, что в этой системе оно представляется каноническим. При этом $p=\frac{1}{|2a|}$.

Расчёт коэффициентов квадратного уравнения

Если для уравнения $~y = ax^2 + bx + c$ известны координаты 3-х различных точек его графика $~(x_{1}; y_{1})$, $~(x_{2}; y_{2})$, $~(x_{3}; y_{3})$, то его коэффициенты могут быть найдены так:

$~a=\frac{y_{3}-\cfrac{x_{3}(y_{2}-y_{1})+x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}{x_{3}(x_{3}-x_{1}-x_{2})+x_{1}x_{2}}, b=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}-a(x_{1}+x_{2}), c=\frac{x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}+ax_{1}x_{2}$

Свойства

Расстояние от Pn до фокуса F такое же, как и от Pn до Qn (на директрисе L)

Длина линий F-Pn-Qn одинакова. Можно сказать, что, в отличие от эллипса, второй фокус у параболы — в бесконечности (см. также Шары Данделена)

• Парабола — кривая второго порядка.
• Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и вершину перпендикулярно директрисе.
• Оптическое свойство. Пучок лучей, параллельных оси параболы, отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. И наоборот, свет от источника, находящегося в фокусе, отражается параболой в пучок параллельных её оси лучей.
• Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ будет лежать на директрисе.
• Парабола является антиподерой прямой.
• Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб.

Связанные определения

• При вращении параболы вокруг оси симметрии получается эллиптический параболоид.

Параболы в физическом пространстве

Параболический компас Леонардо да Винчи

Траектории некоторых космических тел (комет, астероидов и других), проходящих вблизи звезды или другого массивного объекта (звезды или планеты) на достаточно большой скорости имеют форму параболы (или гиперболы). Эти тела вследствие своей большой скорости не захватываются гравитационным полем звезды и продолжают свободный полёт. Это явление используется для гравитационных манёвров космических кораблей (в частности аппаратов Вояджер).

При отсутствии сопротивления воздуха траектория полёта тела в приближении однородного гравитационного поля представляет собой параболу.

Также параболические зеркала используются в любительских переносных телескопах систем Кассергена, Шмидта — Кассергена, Ньютона, а в фокусе параболы устанавливают вспомогательные зеркала, подающие изображение на окуляр.

При вращении сосуда с жидкостью вокруг вертикальной оси поверхность жидкости в сосуде и вертикальная плоскость пересекаются по параболе.

Свойство параболы фокусировать пучок лучей, параллельных оси параболы, используется в конструкциях прожекторов, фонарей, фар, а также телескопов-рефлекторов (оптических, инфракрасных, радио…), в конструкции узконаправленных (спутниковых и других) антенн, необходимых для передачи данных на большие расстояния, солнечных электростанций и в других областях.

Форма параболы иногда используется в архитектуре для строительства крыш и куполов.

• 

  Параболическая орбита и движение спутника по ней (анимация)

• 

  Падение баскетбольного мяча

• 

  Параболическая солнечная электростанция в Калифорнии, США

• 

  Параболические траектории струй воды

• 

  Вращающийся сосуд с жидкостью

См. также

• Кубическая парабола
• Конические сечения:
  • Эллипс
  • Гипербола
  • Окружность
• Шары Данделена
• Цепная линия
• Каустика
• Телескоп

Примечания

1. ↑ Александров П.С. Парабола // Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М.: Наука, 1979. — С. 69—72. — 512 с.

Литература

• Бронштейн И., Парабола, Квант, № 4, 1975.
• Математическая энциклопедия (в 5-и томах), Москва, «Советская Энциклопедия», 1982 г.
• Маркушевич А. И. Замечательные кривые, Популярные лекции по математике, выпуск 4, Гостехиздат 1952 г., 32 стр.
• А. А. Акопян, А. В. Заславский Геометрические свойства кривых второго порядка. Москва, Издательство МЦНМО, 2007 год.

Ссылки

	Парабола на Викискладе?

• Статья в справочнике «Прикладная математика».
• Анимированные рисунки, иллюстрирующие некоторые свойства параболы.
• Информация (англ.) о связи параболы с физикой.
• Учебный фильм о параболе