Окружность

Окружность и её центр

Окружность — геометрическое место всех точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное неотрицательное расстояние, называемое её радиусом.

Другие определения

Окружность диаметра AB — это фигура, состоящая из точек A, B и всех точек плоскости, из которых отрезок AB виден под прямым углом.

Окружность — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояний до двух данных точек равно данному числу, отличному от единицы. (см. Окружность Аполлония)

Также фигура, состоящая из всех таких точек, для каждой из которых сумма квадратов расстояний до двух данных точек равна заданной величине, большей половины квадрата расстояния между данными точками.

Связанные определения

• Радиус — не только величина расстояния, но и отрезок, соединяющий центр окружности с одной из её точек.
• Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется её хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.
• Окружность называется единичной, если её радиус равен единице. Единичная окружность является одним из основных объектов тригонометрии.
• Любые две несовпадающие точки окружности делят её на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.

Через вершину треугольника проведена касательная к описанной окружности

• Угол, образуемый дугой окружности, равной по длине радиусу, принимается за 1 радиан.
• Длина единичной полуокружности обозначается через $\pi$.
• Геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до данной точки не больше, чем заданное ненулевое, называется кругом.
• Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.
• Прямая, проходящая через две различных точки окружности, называется секущей.
• Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую опирается.
• Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую опирается.
• Две окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими.
• Две окружности, пересекающиеся под прямым углом, называются ортогональными.

Свойства

• Изопериметрическое неравенство: Из всех замкнутых кривых данной длины окружность ограничивает область максимальной площади.
• Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку (касательная); иметь с ней две общие точки (секущая).
• Касательная к окружности всегда перпендикулярна её диаметру, один из концов которого является точкой касания.
• Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
• Точка касания двух окружностей лежит на прямой, проходящей через их центры.
• Длину дуги окружности радиуса $R$, образованной центральным углом $\varphi$, измеренным в радианах, можно вычислить по формуле $L= \varphi R$.
  • Длину окружности с радиусом $R$ можно вычислить по формуле $\ C= 2\pi R$.
• Вписанный угол либо равен половине центрального угла, опирающегося на его дугу, либо дополняет половину этого угла до 180°.
  • Два вписанных угла, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
  • Вписанный угол, опирающийся на дугу длиной в половину окружности равен 90°.
• Угол между двумя секущими, проведёнными из точки, лежащей вне окружности равен полуразности мер дуг, лежащих между секущими.
• Угол между пересекающимися хордами равен полусумме мер дуги, лежащей в угле и дуги напротив неё.
• Угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги, стягиваемой хордой.
• Отрезки касательных к окружности, проведённых из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
• При пересечении двух хорд произведение отрезков, на которые делится одна из них точкой пересечения, равно произведению отрезков другой.
• Произведение длин расстояний от выбранной точки до двух точек пересечения окружности и секущей, проходящей через выбранную точку, не зависит от выбора секущей и равно абсолютной величине степени точки относительно окружности.
  • Квадрат длины отрезка касательной равен произведению длин отрезков секущей и равен абсолютной величине степени точки относительно окружности.
• Окружность является простой плоской кривой второго порядка.
• Окружность является коническим сечением и частным случаем эллипса.

Основные формулы

Длина окружности:

$C = 2 \pi R = \pi D.$

Радиус окружности:

$R = \frac{C}{2 \pi} = \frac{D}{2}.$

Диаметр окружности:

$D = \frac{C}{\pi} = 2 R.$

Площадь круга радиуса R:

$S= \pi R^2 = \frac{\pi D^2}{4}.$

Площадь сектора, ограниченного углом α, измеряемым в градусах, радиусом R:

$S= \pi R^2 \frac{\alpha}{360^\circ}.$

Площадь сегмента, ограниченного дугой окружности углом α, хордой:

$S= \pi R^2 \frac{\alpha}{360^\circ}-\frac{R^2 \sin \alpha}{2}.$

Уравнения

Декартовы координаты

Окружность радиуса r = 1, центр (a, b) = (1.2, −0.5)

Общее уравнение окружности записывается как:

$x^2+y^2+Ax+By+C=0,\,$

или

$\left(x-x_0\right)^2 + \left(y-y_0\right)^2 = R^2,$

где

$2x_0=-A,\; 2y_0=-B,\; 2R = \sqrt{A^2+B^2-4C}.$

Точка $\left(x_0, y_0\right)$ — центр окружности, $R$ — её радиус.

Уравнение окружности радиуса $R$ с центром в начале координат:

$x^2 + y^2 = R^2.\,$

Уравнение окружности, проходящей через три точки (с помощью определителя) $\left(x_1, y_1\right),$ $\left(x_2, y_2\right)$ и $\left(x_3, y_3\right):$

$\begin{vmatrix} x^2 + y^2 & x & y & 1 \\ x_1^2 + y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\ x_2^2 + y_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \\ x_3^2 + y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} = 0.$

Окружность также можно описать с помощью параметрического уравнения:

$\begin{cases} x = x_0 + R \cos \varphi \\ y = y_0 + R \sin \varphi \end{cases},\;\;\;0 \leqslant \varphi < 2 \pi.$

В декартовой системе координат окружность не является графиком функции, но она может быть описана как объединение графиков двух следующих функций:

$y = y_0 \pm \sqrt{R^2 - (x - x_0 )^2}.$

Если центр окружности совпадает с началом координат, функции принимают вид:

$y = \pm \sqrt{R^2 - x^2 }.$

Полярные координаты

Окружность радиуса $R$ с центром в точке $\left(\rho_0,\phi_0\right)$:

$\rho^2 - 2\rho\,\rho_0\cos\left(\phi-\phi_0\right) + \rho_0^2 = R^2.$

Если полярные координаты центра окружности $\rho_0 = R,\;\phi_0 = \alpha,$ то проходящая через начало координат окружность описывается уравнением:

$\rho(\varphi)=2R\cos\,(\varphi-\alpha),\;\;\;\alpha-\frac\pi 2 \leqslant \varphi \leqslant \alpha+\frac\pi 2.$

Если же центр является началом координат, то уравнение будет иметь вид:

$\rho=R.\,$

Комплексная плоскость

На комплексной плоскости окружность задаётся формулой:

$\left|z - z_0\right| = R\,$

или в параметрическом виде

$z=z_0 + Re^{it},\,t\in\R.\,$

Касательные и нормали

Уравнение касательной к окружности в точке $\left(x_1,y_1\right)$ определяется уравнением

$\left(\frac{A}{2}+x_1\right)x + \left(\frac{B}{2}+y_1\right)y + \left(\frac{A}{2}x_1+\frac{B}{2}y_1+C\right) = 0.$

Уравнение нормали в той же точке можно записать как

$\frac{x-x_1}{2x_1+A} = \frac{y-y_1}{2y_1+B}.\,$

Концентрические и ортогональные окружности

Две окружности, заданные уравнениями:

$x^2+y^2+A_1x+B_1y+C_1=0,\;\;\;x^2+y^2+A_2x+B_2y+C_2=0$

являются концентрическими (то есть имеющими общий центр) в том и только в том случае, когда $A_1=A_2$ и $B_1=B_2 .$

Две окружности являются ортогональными (то есть пересекающиеся под прямым углом) тогда и только тогда, когда выполняется условие

$A_1A_2 + B_1B_2 = 2\left(C_1+C_2\right).$

См. также

В Викисловаре есть статья «окружность»

• Вписанная окружность
• Описанная окружность
• Окружность Аполлония

Литература

• Математическая энциклопедия в пяти томах. — М: Советская энциклопедия, 1983.
• Маркушевич А. И. Замечательные кривые, выпуск 4. — М: Гостехиздат, 1952. — 32 с.
• Корн Г., Корн Т. Свойства окружностей, эллипсов, гипербол и парабол // Справочник по математике. — 4-е издание. — М: Наука, 1978. — С. 70.
• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. Кадомцев С.Б. и др. Дополнительные главы к учебнику 8 класса // Геометрия. — 3-е издание. — М: Вита-Пресс, 2003.