Кривая Пеано

Кривая Пеано — общее название для параметрических кривых, образ которых содержит квадрат (или, в более общем смысле, открытые области пространства)

Свойства

Всякая кривая Пеано имеет кратные точки — это «предложение имеет огромную принципиальную важность для геометрии, так как оно показывает, в чем именно кроется самая геометрическая сущность различия числа измерений плоскости и прямой» (Лузин). Не существует кривой Пеано, всякая точка которой была бы простой или двукратной, но существует кривая Пеано, имеющая самое большее лишь трёхкратные точки (в счётном числе),— такова, например, кривая, построенная самим Пеано; конструкция Гильберта ниже содержит четырёхкратные точки (также в счётном числе).

С понятием кривой Пеано связан любопытный факт существования пространственных простых дуг, проектирующихся на плоскость в виде сплошных площадей, — такова, например, кривая

$r(t)=(x(t),y(t),t)$

где первые две функции задают кривую Пеано. Хотя эта дуга и может защитить от вертикальных солнечных лучей, она не может служить защитой от дождя так как не есть непрерывная поверхность.

Существуют кривые Пеано, сохраняющие меру, то есть мера Лебега подмножества квадрата совпадает с мерой Лебега его прообраза на отрезке. Нижеприведённый пример Гильберта обладает этим свойством.

Примеры

Аналитическое построение.^[1]Рассмотрим функции f(x) и g(x), определенные на отрезке [0,1] следующим образом. Пусть разложение x в троичной системе счисления имеет вид 0, x₁ x₂ x₃ ... x_k (каждое из x_k равно 0, 1 или 2). Тогда f(x) мы определим как число, имеющее следующее разложение 0,f₁ f₂ f₃ ... f_k в троичной системе:

f₁ = x₁
f₂ = x₃, если x₂ четно, и 2-x₃, если x₂ нечетно
...
f_k = x_2k-1, если x₂+x₄+...+x_2k-2 четно
f_k = 2-x_2k-1, если x₂+x₄+...+x_2k-2 нечетно

Аналогичным образом определим функцию g(x) = 0, g₁ g₂ ... g_k... в троичной системе счисления:

g₁ = x₂, если x₁ четно, и 2-x₂, если x₁ нечетно
...
g_k = x_2k, если x₁+x₃+...+x_2k-1 четно
g_k =2-x_2k, если x₁+x₃+...+x_2k-1 нечетно

Рассмотрим теперь отображение: x → [f(x), g(x)]. Можно доказать, что:

1. Функции f(x) и g(x) корректно определены (т.е. в числах, допускающих 2 представления в троичной системе счисления, значения f(x) и g(x) окажутся не зависящими от выбора представления).

2. Функции f(x) и g(x) непрерывны на [0,1].

3. Система уравнений f(x) = a и g(x) = b имеет не менее 1 и не более 4 решений при любых a и b, лежащих на отрезке [0,1].

Тем самым, отображение с координатными функциями f и g на плоскости x → [f(x),g(x)] непрерывно переводит отрезок [0,1] в квадрат [0,1]².

Пример кривой Пеано, построенный Гильбертом. Здесь показан порядок обхода квадратиков 1-6 уровня.

Геометрическое построение. Рассмотрим единичный отрезок и единичный квадрат. На 1-м шаге построения разделим квадрат средними линиями на 4 равных квадратика, а отрезок - на 4 равные части. Получим квадратики и отрезочки 1-го уровня. На каждом последующем шаге делим квадратики и отрезочки предыдущего уровня на 4 части - получаем квадратики и отрезочки следующего уровня. Имеем 4 квадратика 1-го уровня, 16 квадратиков 2-го уровня и т.д.; аналогично с отрезочками. Зададим порядок обхода квадратиков каждого уровня. Для 1-го, 2-го, ..., 6-го уровня порядок обхода показан на рисунке. Порядок обхода определяет взаимно-однозначное соответствие между множеством квадратиков n-го уровня и множеством отрезочков n-го уровня.

Пусть теперь x - произвольная точка исходного единичного отрезка. Пусть k₁ - номер отрезочка 1-го уровня, которому принадлежит точка x, k₂ - номер отрезочка 2-го уровня, которому принадлежит точка x и т.д. Рассмотрим квадратики Q₁, Q₂, ... с теми же номерами k₁, k₂, .... Порядок обхода квадратиков устроен таким образом, что (внимание!) квадратики Q₁, Q₂, ... образуют вложенную систему. По теореме о вложенной (стягивающейся) системе отрезков, квадратики Q₁, Q₂, ... имеют единственную общую точку y.

Если x принадлежит одновременно 2-м отрезочкам, то эти отрезочки соответствуют 2-м квадратикам с общей стороной - так устроен порядок обхода. Назовем такие квадратики смежными. В этом случае вместо квадратиков Q₁, Q₂, ... рассмотрим прямоугольники - объединения смежных квадратиков. И тогда y - единственная общая точка вложенной системы указанных прямоугольников.

Аналогичное рассуждение показывает, что каждая точка y квадрата будет соответствовать некоторой точке x единичного отрезка.

Построенное отображение x → y определяет искомую кривую Пеано. Непрерывность отображения следует из того, что близким отрезочкам соответствуют близкие квадратики. Каждая точка y имеет:

• 1 прообраз x (если y не принадлежит границам 2-х несмежных квадратиков никакого уровня),
• 2 прообраза (если y принадлежит границам не более 2-х несмежных квадратиков некоторого уровня),
• 3 прообраза (если y принадлежит границам 4-х квадратиков некоторого уровня, одна пара которых - смежные),
• 4 прообраза (если y принадлежит границам 4-х попарно несмежных квадратиков некоторого уровня).

Замечания.

1. Очевидно, что примеры, данные в предыдущих двух пунктах различны. Который из них принадлежит Гильберту?

2. Кривая, задающая порядок обхода квадратиков, в некотором смысле, является приближением к кривой Пеано: она задает порядок, в котором кривая Пеано заметает квадратики. И не более того.

Обобщения

Существует аналог кривых Пеано, заполняющий многомерный куб и даже гильбертов кирпич.

Далеко идущее обобщение содержит теорема Мазуркевича:

Если $X$ — континуум, то эквивалентны условия: пространство $X$ локально связно, $X$ — непрерывный образ интервала.

История

Первая такая кривая была построена Джузеппе Пеано в 1890.

Литература

• Peano G., «Math. Ann.», 1890, Bd 36, S. 157;
• Александров П. С, Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1977;
• Лузин Н. Н., Теория функций действительного переменного, 2 изд., М., 1948.

Ссылки

1. ↑ Идея почерпнута в книге: Макаров Б.М. Голузина М.Г. Лодкин А.А. Подкорытов А.Н. "Избранные задачи по вещественному анализу" М.:Наука, 1992, стр. 44.