- Декартов лист
-
Декартов лист — плоская кривая третьего порядка, удовлетворяющая уравнению в прямоугольной системе . Параметр определяется как диагональ квадрата, сторона которого равна наибольшей хорде петли.
Содержание
История
Впервые уравнение кривой исследовал Р. Декарт в 1638 году, однако он построил только петлю в первом координатном угле, где и принимают положительные значения. Декарт полагал, что петля симметрично повторяется во всех четырёх координатных четвертях, в виде четырёх лепестков цветка. В то время эта кривая называлась цветком жасмина (англ. jasmine flower, фр. fleur de jasmin).
В современном виде эту кривую впервые представил Х. Гюйгенс в 1692 году.
Уравнения
- В прямоугольной системе по определению:
- .
- Параметрическое уравнение в прямоугольной системе:
- , где .
Часто рассматривают повёрнутую на кривую. Её уравнения выглядят так:
- В прямоугольной системе:
- , где
- Параметрическое:
- В полярных координатах:
Вывод уравнений повёрнутой кривой Систему координат XOY преобразуют в систему координат UOV, которая получается поворотом осей OX и OY по часовой стрелке на угол и переориентацией оси OX в противоположном направлении: Выражение старых координат XY через новые UV выглядит так:
- , или
- ,
После подстановки выражений старых координат через новые уравнение декартова листа преобразуется к следующему виду:
- .
Вводим параметр , последнее уравнение перепишется так:
или
- .
Заменяем переменные u и v на привычные x и y и получаем уравнение декартового листа в новой системе координат:
Подставив в уравнение предыдущее , получаем уравнение декартова листа в полярной системе координат:
- .
Решая данное выражение относительно , получаем:
- .
Свойства
- Прямая — ось симметрии, её уравнение: .
- Точка A называется вершиной, её координаты .
- Для обеих ветвей существует асимптота , её уравнение: .
Вывод уравнения асимптоты Для повёрнутого декартового листа: При имеем
- или ,
Рассматриваем второй случай: , то есть, , то есть , значит .
Уравнение асимптоты UV определяется из выражения:
- , следовательно, .
После поворота осей на получаем окончательное уравнение
- Площадь области между дугами и
Нахождение площади Площадь , заключённая между дугами ACO и ABO вычисляется так: - , где .
Этот интеграл вычисляется с помощью подстановки:
- .
Пределы интегрирования:
Интеграл преобразуется к виду:
или
Первый интеграл из этого уравнения:
- .
Подстановка:
- .
Пределы интегрирования:
- .
Интеграл преобразуется к виду:
- .
Второй интеграл:
Подстановка:
- .
Пределы интегрирования:
- .
Интеграл преобразуется к виду:
- .
Итак:
- .
Площадь равна
- .
- Площадь области между асимптотой и кривой равна площади петли .
Нахождение площади Площадь , заключённая между ветвями кривой и асимптотой UV, вычисляется точно также, как и площадь ; интеграл берётся в пределах от 0 до . Этот интеграл вычисляется также, как и в предыдущем случае.
- , то есть, площади и равны между собой.
- Объём тела, образованного при вращении дуги вокруг оси абсцисс
Нахождение объёма вращения Объём () тела, образованного при вращении дуги вокруг оси абсцисс, рассчитывается так: - .
Итак:
- .
Объём () тела, образованного при вращении одной ветви вокруг оси абсцисс, стремится к бесконечности. Этот объём вычисляется из предыдущего интеграла в пределах от до . Этот интеграл равен бесконечности, то есть
- .
Исследование кривой
При имеем или , или , то есть .
Уравнение асимптоты UV определяется из выражения:
- .
Производная
Чтобы найти максимальное значение функции и уравнение касательной, вычислим производную функции:
- .
Приравниваем производную y' нулю и решаем, полученное уравнение, относительно x. Получим: . При этом значении x функция (2) имеет максимум на верхней дуге — точка и минимум на нижней дуге — точка . Значение функции в этих точках равно:
- .
Значение производной y’ в точке равно , то есть касательные в точке взаимно перпендикулярны и наклонены к оси абсцисс под углом .
Ссылки
Декартов лист на Викискладе? - Д. К. Бобылёв Декартов лист // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
Категория:- Кривые
Wikimedia Foundation. 2010.