Параллельная кривая

Эллипс (показано красным), его эволюта (синий) и несколько параллельных кривых (зеленый). Обратите внимание как изламываются параллельные кривые, касающиеся эволюты.

Файл:ParallelEvolute.gif

Анимированное построение параллельных кривых: эллипс (красный), эволюта (астроида, синий) и движение параллельных кривых (черный).

Параллельная кривая плоской кривой — огибающая семейства окружностей равного радиуса, центры которых лежат на заданной кривой. Понятие параллельной кривой — обобщение понятия параллельной прямой на случай плоских кривых.

Для параметрически заданной кривой, параллельная кривая, проходящая на расстоянии $a$ от данной определяется уравнениями

$X=x+\frac{ay'}{\sqrt{x'^2+y'^2}}$,

$Y=y-\frac{ax'}{\sqrt {x'^2+y'^2}}$.

Или в векторной форме:

$\vec{r} = r(t)$

$\vec{R} = \vec{r} + a \frac{\vec{r}\,'}{|\vec{r}\,'|} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \vec{r} + \frac{\vec{r}\,'}{|\vec{r}\,'|} \begin{pmatrix} 0 & a \\ -a & 0 \end{pmatrix}$,

где матрица $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ соответствует повороту вектора на 90° по часовой стрелке.

См. также

• Эволюта
• Эвольвента

Внешние ссылки

• Weisstein, Eric W. Параллельные кривые (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Дифференциальные преобразования кривых на плоскости

Параллельная кривая • Эволюта • Эвольвента • Подера • Антиподера • Дуальная кривая