Астроида

Астроида

Астро́ида (от греч. αστρον — звезда и ειδος — вид, то есть звездообразная) — плоская кривая, описываемая точкой окружности радиуса $r$, катящейся по внутренней стороне окружности радиуса $R=4r$. Иначе говоря, астроида — это гипоциклоида с модулем $k=4$.

История

Название кривой предложил австрийский астроном Карл Людвиг фон Литров в 1838 г.

Уравнения

Уравнение в декартовых прямоугольных координатах:

$x^{2/3}+y^{2/3}=R^{2/3}\,$

Параметрическое уравнение:

$x = R\cos^3 t; \quad y = R\sin^3 t\,$

Вывод  

Уравнение в прямоугольных координатах следует из параметрического уравнения и основного тригонометрического тождества. Вывод параметрического уравнения такой. Возьмем уравнение гипоциклоиды, подставим k=4. Синус/косинус тройного угла разложим по формуле синуса/косинуса суммы, то же для синуса/косинуса двойного угла. Учтем R=4r и получим наши уравнения.

Уравнение в рациональном виде:

$(x^{2}+y^{2}-R^{2})^{3}+27R^{2}x^{2}y^{2}=0\,$

Свойства

• Имеются четыре каспа.
• Длина дуги от точки с 0 до $t\le \pi/2$

$l=\frac32R\sin^2t$

• Длина всей кривой $6R$.
• Радиус кривизны:

$r(t)=\frac32R\sin2t$

• Площадь, ограниченная кривой:

$S=\frac{3}{8} \pi R^2$

• Астроида является огибающей семейства отрезков постоянной длины, концы которых расположены на двух взаимно перпендикулярных прямых.
• Астроида является алгебраической кривой 6-го порядка.
• Эволюта астроиды подобна ей, но вдвое больше неё и повёрнута относительно неё на 45°.
• Астроида является эволютой эллипса.

Литература

• Савелов А. А. Плоские кривые: Систематика, свойства, применения. М.: Физматгиз, 1960. 293 с. Переиздана в 2002 году, ISBN 5-93972-125-7.