Лемниската

Лемнискаты с тремя фиксированными фокусами.

Лемниска́та (от лат. lemniscatus — «украшенный лентами») — плоская алгебраическая кривая порядка $2n$, у которой произведение расстояний от каждой точки до $n$ заданных точек (фокусов) постоянно.

Примеры

• Лемнискатой с одним фокусом ($n=1$) является окружность радиуса $r$, а с двумя фокусами — овал Кассини.
• Частным случаем овала Кассини является лемниската Бернулли, по имени швейцарского математика Якоба Бернулли, положившего начало изучению лемнискат.

Свойства

• Уравнение лемнискаты на комплексной плоскости

$\left | (z - z_1) (z - z_2) \ldots (z - z_n) \right | = r^n,\; z = x + iy,\; r > 0.$

• Беря разное число фокусов, располагая их по-разному и назначая ту или иную величину для произведения расстояний, можно получать лемнискаты самых причудливых очертаний, например, очертания человеческой головы или птицы. Имея такую произвольную кривую, можно так подобрать число фокусов $F_1$, $F_2$, …, $F_n$, их расположение и назначить такую величину $p$ для неизменного произведения расстояний $MF_1\cdot MF_2\cdot\ldots\cdot MF_n = p$, что соответствующая лемниската на глаз не будет отличаться от этой кривой. Иными словами, произвольную кривую можно приблизить последовательностью леминискат.

См. также

• Лемниската Бута
• Лемниската Бернулли
• Овал Кассини
• Плоская кривая
• Алгебраическая кривая
• Аттрактор Лоренца
• en:Cut-point
• en:Polynomial lemniscate
• en:Gauss's constant

Литература

• Математическая энциклопедия (в 5-ти томах). — Москва: «Советская Энциклопедия». — Т. 3, (Коо-Од). — С. 234.
• Маркушевич А. И. Замечательные кривые. — Гостехиздат, 1952. — 32 с. — (Популярные лекции по математике, выпуск 4).