Кубика

Кубика y² = x² · (x + 1). Параметризация: t → (t² − 1, t · (t² − 1))

Набор кубик

Ку́бика — плоская алгебраическая кривая 3-го порядка, то есть множество точек плоскости (проективной, аффинной, евклидовой), однородные координаты которых (относительно соответственно проективной, аффинной или декартовой системы координат) удовлетворяют уравнению третьей степени.

Классификация

Первая классификация кубик была дана Ньютоном в 1704 году^[1].

Ньютон доказал, что для любой кубики можно подобрать систему координат, в которой она будет иметь один из следующих видов:

• $xy^2+ey\,=\,ax^3+bx^2+cx+d;$
• $xy\,=\,ax^3+bx^2+cx+d;$
• $y^2\,=\,ax^3+bx^2+cx+d;$
• $y\,=\,ax^3+bx^2+cx+d.$

Далее Ньютон поделил все кривые на классы, роды и типы, пропустив при этом однако 6 типов. Полную классификацию дал Плюккер^[2].

По состоянию на 2008 год, аналогичной классификации для кривых n-го порядка не найдено, эта задача составляет 16-ю проблему Гильберта.

Свойства

• Теорема Шаля. Даны 2 кубики $A$ и $B$, имеющие 9 общих точек. Если третья кубика С проходит через 8 из них, то она проходит и через девятую.
• На кубике взяли точку $A$, и провели из неё 2 касательных к кубике — одна касается кубики в точке $A$, другая — в точке $B$. Пусть площади сегментов, отсекаемых этими касательными от графика кубики, равны $X$ и $Y$. Тогда $X=16Y$ ^[3].
• Известно, что некоторые кубики являются трисектрисами, то есть если на плоскости нарисован график такой кубики, и дан угол, то его можно разделить циркулем и линейкой на 3 равные части. Открытая проблема: любая ли кубика является трисектрисой?
• Максимально возможное число компонент связности у графика кубики в $R^2$ есть 4. Например: у $f(x,\;y)=3x^3-5y^2x-4x^2-10yx+10y^2-6x+20y+12$ (график состоит из трёх удаляющихся на бесконечность кривых и одной изолированной точки).
• Если прямая проходит через две точки перегиба кубики, то она проходит и через третью.
• На кубиках можно ввести сложение точек и умножение их на число, получив тем самым алгебраическую структуру, называемую эллиптической кривой^[4][5].
• Прямая пересекает кубику в точках $A,\;B,\;C$. Касательные, восстановленные к кубике в точках $A,\;B,\;C$, пересекают второй раз кубику в точках $P,\;Q,\;R$. Тогда точки $P,\;Q,\;R$ также лежат на одной прямой^[6][7].

Применения

• Кубические кривые применяются в языке PostScript, включая шрифты формата Type 1 (в TrueType используются только квадратичные кривые).
• Изучение кубик долгое время считалось примером чистой математики (не имеющей никакого прикладного применения и перспективы такового). Однако, в последние 20 лет XX века были придуманы криптографические алгоритмы, использующие глубокие свойства кубик, которые сегодня используются (в частности) при банковском шифровании, что дало толчок изучению свойств кубик, см. Эллиптическая криптография.
• Большое число замечательных точек треугольника складываются в несколько кубик^[8].
• Морлей доказал известную теорему Морлея, изучая свойства кубик^[9].

См. также

• Эллиптическая кривая

Примечания

1. ↑ «Enumeratio linearum tertii ordinis» (имеется русский перевод «Перечисление кривых третьего порядка» в книге Д. Д. Мордухай-Болтовского «Исаак Ньютон. Математические работы», стр. 194—209, доступны on-line постранично на [1]).
2. ↑ Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых третьего порядка. — М.: Физматгиз, 1961.
3. ↑ Honsberger R. More Mathematical Morsels // Math. Assoc. Amer. — Washington, DC, 1991. — p. 114—118.
4. ↑ Острик В. В., Цфасман М. А. Алгебраическая геометрия и теория чисел: рациональные и эллиптические кривые. — М.: МЦНМО, 2010. — 48 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»). — ISBN 5-900916-71-5
5. ↑ Соловьев Ю. П. Рациональные точки на эллиптических кривых // Соросовский образовательный журнал. — 1997. — № 10. — С. 138—143.
6. ↑ [2].
7. ↑ См. также Weisstein, Eric W. Cubic Curve (англ.) на сайте Wolfram MathWorld., [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11].
8. ↑ См. [12] и [13].
9. ↑ См. его работы [14].

Ссылки

• Библиотеки для интерактивного рисования кубик (без изолированых точек) на языках Flash [15] и Java [16].