Бикомпактное пространство

Бикомпактное пространство

Компа́ктное простра́нство — это топологическое пространство, в любом покрытии которого открытыми множествами найдётся конечное подпокрытие.

В топологии, компактные пространства по своим свойствам напоминают конечные множества в теории множеств.

Содержание

Связанные определения

  • Подмножество топологического пространства, являющееся в индуцированной топологии компактным пространством, называется компактным множеством.
  • Множество называется относительно компактным или предкомпактным, если его замыкание компактно.
  • Пространство называется секвенциально компактным, если из любой последовательности в нём можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
  • Локально компактное пространство — топологическое пространство, в котором любая точка имеет окрестность, замыкание которой компактно.
  • Ограниченно компактное пространствометрическое пространство, в котором все замкнутые шары компактны.
  • Термин компакт иногда используется для метризуемого компактного пространства, но иногда просто как синоним к термину «компактное пространство».

Свойства

Примеры компактных множеств

  • замкнутые и ограниченные множества в \mathbb{R}^n
  • конечные подмножества в пространствах, удовлетворяющих аксиоме отделимости \mathbf{T}_1
  • теорема Асколи — Арцела даёт характеризацию компактных множеств для некоторых функциональных пространств. Рассмотрим пространство C(X) вещественных функций на метрическом компактном пространстве X с нормой \|f\|=\sup_x |f(x)|. Тогда замыкание множества функций F в C(X) компактно тогда и только тогда, когда F равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.
  • пространство Стоуна булевых алгебр
  • компактификация топологического пространства

История

Бикомпактное пространство — термин, введённый П. С. Александровым как усиление введённого М. Фреше понятия компактного пространства: топологическое пространство компактно — в первоначальном смысле слова — если в каждом счётном открытом покрытии этого пространства содержится его конечное подпокрытие. Однако дальнейшее развитие математики показало, что понятие бикомпактности настолько важнее первоначального понятия компактности, что в настоящее время под компактностью понимают именно бикомпактность, а компактные в старом смысле пространства называют счётно-компактными. Оба понятия равносильны в применении к метрическим пространствам.

Литература


Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Полезное


Смотреть что такое "Бикомпактное пространство" в других словарях:

  • БИКОМПАКТНОЕ ПРОСТРАНСТВО — топологическое пространство, в каждом открытом покрытии к рого содержится конечное подпокрытие того же пространства. Следующие утверждения равносильны: 1) пространство Xбикомпактно; 2) пересечение любой центрированной системы замкнутых в… …   Математическая энциклопедия

  • ЛОКАЛЬНО БИКОМПАКТНОЕ ПРОСТРАНСТВО — топологическое пространство, у каждой точки к рого имеется окрестность с бикомпактным замыканием. Хаусдорфово Л. б. п. Xявляется вполне регулярным про странством. Частично упорядоченное множество всех его хаусдорфовых бикомпактных расширений… …   Математическая энциклопедия

  • ПЕРИФЕРИЧЕСКИ БИКОМПАКТНОЕ ПРОСТРАНСТВО — топологическое пространство, обладающее базой открытых множеств с бикомпактными границами. Вполне регулярное П. б. п. Xимеет бикомпактные расширения с нульмерными (в смысле размерности ind) наростами. Если всякий бикомпакт допускает вложение в… …   Математическая энциклопедия

  • БИКОМПАКТНОЕ РАСШИРЕНИЕ — (би)компактификация, расширение топологического пространства, являющееся бикомпактным пространством. Б. р. существуют у любого топологич. пространства, у любого T1 пространства есть Б. р., являющиеся T1 пространствами, но наибольший интерес… …   Математическая энциклопедия

  • БИКОМПАКТНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ — отображение одного пространства в другое, при к ром прообраз каждой точки есть бикомпакт (см. Бикомпактное пространство). Требование бикомпактности отображения особенно полезно в соединении с другими ограничениями на отображение. Прежде всего… …   Математическая энциклопедия

  • СТОУНА ПРОСТРАНСТВО — булевой алгебры вполне несвязное бикомпактное пространство поле всех открыто замкнутых множеств к рого изоморфно Это пространство канонически определяется по следующим образом: Xесть множество всех ультрафильтров а топология t порождена… …   Математическая энциклопедия

  • ФРЕЙДЕНТАЛЯ БИКОМПАКТНОЕ РАСШИРЕНИЕ — максимальное бикомпактное расширение с нульмерным наростом. Любое периферически бикомпактное пространство обладает Ф. б. р. (это доказано X. Фрейденталeм [1]). Среди всех таких расширений существует единственное максимальное и оно наз. Ф. б. р.… …   Математическая энциклопедия

  • МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО — множество Xвместе с нек рой метрикойr на ном. Теоретико множественный подход к изучению фигур (пространств) основан на исследовании взаимного расположения составляющих их элементарных частей. Одной из фундаментальных характеристик взаимного… …   Математическая энциклопедия

  • Компактное пространство — определённый тип топологических пространств, включающий Все пространства с конечным числом точек; Все замкнутые и ограниченные подмножества евклидова пространства. В топологии компактные пространства по своим свойствам напоминают конечные… …   Википедия

  • Локально компактное пространство — Компактное пространство это топологическое пространство, в любом покрытии которого открытыми множествами найдётся конечное подпокрытие. В топологии, компактные пространства по своим свойствам напоминают конечные множества в теории множеств.… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»