Компактификация

Компактификация

В общей топологии компактификация — операция, которая преобразует произвольные топологические пространства в компактные.

Формально компактификация пространства X определяется как пара (Y,\;f), где Y компактно, f:X \to Y гомеоморфизм на свой образ f(X) и f(X) плотно в Y.

На компактификациях некоторого фиксированного пространства X можно ввести частичный порядок. Положим f_1 \leqslant f_2 для двух компактификаций f_1: X \to Y_1, f_2: X \to Y_2, если существует непрерывное отображение g: Y_2 \to Y_1 такое, что g f_2 = f_1. Максимальный (с точностью до гомеоморфизма) элемент в этом порядке называется компактификацией Стоуна — Чеха[1] и обозначается \beta X. Для того, чтобы у пространства X существовала компактификация Стоуна — Чеха, удовлетворяющая аксиоме отделимости Хаусдорфа, необходимо и достаточно, чтобы X удовлетворяло аксиоме отделимости T_{3\frac{1}{2}}, т.е. было вполне регулярным.

Одноточечная компактификация (или компактификация Александрова) устроена следующим образом. Пусть Y=X \cup \{\infty\} и открытыми множествами в Y считаются все открытые множества X, а также множества вида O \cup \{\infty\}, где O \subseteq X имеет компактное (в X) дополнение. f берётся как естественное вложение X в Y. (Y,\; f) тогда компактификация, причём Y хаусдорфово тогда и только тогда, когда X хаусдорфово и локально компактно.

Примеры одноточечной компактификации

\R \cup \{\infty\} с топологией, сконструированной как указано выше, является компактным пространством. Не трудно доказать, что если два пространства гомеоморфны, то и соответствующие одноточечные компактификации гомеоморфны. В частности, так как окружность на плоскости без одной точки гомеоморфна с \R (пример гомеоморфизма — стереографическая проекция), целая окружность гомеоморфна с \R \cup \{\infty\}. Аналогично, \mathbb R^n \cup \{\infty\} гомеоморфно c n-мерной гиперсферой.

Примечания

  1. Также «стоунчеховская компактификация» и «чехстоунова компактификация».

Wikimedia Foundation. 2010.

Нужно решить контрольную?

Полезное


Смотреть что такое "Компактификация" в других словарях:

  • Компактификация Стоуна — Чеха (также стоун чеховская или чех стоунова компактификация) максимальная компактификация вполне регулярного топологического пространства. Компактификация Стоуна Чеха пространства обычно обозначается как . Конструкция Обозначим через множество… …   Википедия

  • Чехстоунова компактификация — В общей топологии компактификация  операция, которая преобразует произвольные топологические пространства в компактные. Формально компактификация пространства X определяется как пара , где Y компактно, гомеоморфизм на свой образ f(X) и f(X)… …   Википедия

  • спонтанная компактификация — Самопроизвольное свертывание части размерностей d мерного пространства времени …   Политехнический терминологический толковый словарь

  • Теория струн — Теория суперструн Теория …   Википедия

  • Квантовая теория струн — Взаимодействие в микромире: диаграмма Фейнмана в стандартной модели и её аналог в теории струн Теория струн направление математической физики, изучающее динамику не точечных частиц, как большинство разделов физики, а одномерных протяжённых… …   Википедия

  • БЕСКОНЕЧНО УДАЛЕННЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ — несобственные элементы, элементы (точки, прямые, плоскости и т. д.), возникающие при расширении нек рого аффинного пространства до компактного пространства. Б. у. э. являются одной из форм проявления в различных математич. теориях актуальной… …   Математическая энциклопедия

  • СУПЕРГРАВИТАЦИЯ — калибровочная теория суперсимметрии. Представляет собой суперсимметричное обобщение общей теории относительности (теории тяготения). Расширенная теория С. обладает симметрией, в принципе позволяющей объединить все известные виды вз ствий гравитац …   Физическая энциклопедия

  • ПОКОЛЕНИЯ ФЕРМИОНОВ — сходные по свойствам группы (семейства) частиц кварков н лептонов: Соответствующие частицы из каждого поколения имеют одни и те же квантовые числа относительно группы симметрии электрослабого взаимодействия и отличаются только массами: каждое… …   Физическая энциклопедия

  • РАЗДУВАЮЩАЯСЯ ВСЕЛЁННАЯ — (инфляционная Вселенная) название теории начальной стадии развития Вселенной, предложенной в нач. 80 х гг. 20 в. с целью исправить ряд недостатков стандартного варианта горячей Вселенной теории (см. также Космология). Согласно теории горячей… …   Физическая энциклопедия

  • СТРУНА РЕЛЯТИВИСТСКАЯ — теоретич. одномерно протяжённый релятивистский объект, функционал действия к рого пропорционален площади мировой поверхности, заметаемой им при движении в пространстве времени. Введение такого объекта [1 3] первоначально было продиктовано… …   Физическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»