Алгебра множеств

Алгебра множеств

Алгебра множеств в теории множеств — это непустая система подмножеств, замкнутая относительно операций дополнения (разности) и объединения (суммы).

Содержание

Определение

Семейство \mathfrak{A} \subset 2^{X} подмножеств множества X называется алгеброй, если оно удовлетворяет следующим свойствам:

  1. Если A\in \mathfrak{A}, то и его дополнение X\setminus A\in\mathfrak{A}.
  2. Объединение двух множеств A,B\in \mathfrak{A} также принадлежит \mathfrak{A}.

Замечания

  • По определению, если алгебра содержит множество A, то оно содержит и его дополнение. Объединением A с его дополнением является исходное множество X. Дополнением к множеству X является пустое множество. Это означает, что множество X и пустое множество содержится в алгебре по определению.
  • В силу свойств операций над множествами, алгебра множеств также замкнута относительно пересечения и симметрической разности.
  • Алгебра множеств — это частный случай алгебры с единицей, где операцией «умножения» является пересечение множеств, а операцией «сложения» является симметрическая разность.
  • Если исходное множество X является пространством элементарных событий, то алгебра \mathfrak{A} называется алгеброй событий — ключевое понятие теории вероятностей и связанных с ней математических дисциплин, имеющее уникальную интерпретацию и играющее самостоятельную роль в математике.

Алгебра событий

Алгебра событийтеории вероятностей) — алгебра подмножеств пространства элементарных событий ~\Omega, элементами которого служат элементарные события.

Как и положено алгебре множеств алгебра событий содержит невозможное событие (пустое множество) и замкнута относительно теоретико-множественных операций, производимых в конечном числе. Достаточно потребовать, чтобы алгебра событий была замкнута относительно двух операций, например, пересечения и дополнения, из чего сразу последует её замкнутость относительно любых других теоретико-множественных операций. Алгебра событий, замкнутая относительно счётного числа теоретико-множественных операций, называется сигма-алгеброй событий.

В теории вероятностей встречаются следующие алгебры и сигма-алгебры событий:

Алгебры и сигма-алгебры событий — это области определения вероятности \mathbf{P}. Если \mathbf{P} (x)=0, то событие x \subseteq \Omega называется невозможным событием; если \mathbf{P}(x)=1, то событие x \subseteq \Omega называется достоверным событием;

Событие  A + B или A \cup B , заключается в том, что из двух событий  A  и  B происходит по крайней мере одно, называется суммой событий  A  и  B .

Любая сигма-аддитивная вероятность на алгебре событий однозначно продолжается до сигма-аддитивной вероятности, определенной на сигма-алгебре событий, порожденной данной алгеброй событий.

См. также

Литература



Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Полезное


Смотреть что такое "Алгебра множеств" в других словарях:

  • алгебра множеств — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN set algebra …   Справочник технического переводчика

  • АЛГЕБРА МНОЖЕСТВ — непустая совокупность подмножеств нек рого множества W, замкнутая относительно теоретико множественных операций (объединения, пересечения, образования дополнения), производимых в конечном числе. Для того чтобы нек рый класс подмножеств множества… …   Математическая энциклопедия

  • Алгебра (теория множеств) — У этого термина существуют и другие значения, см. Алгебра (значения). Алгебра множеств в теории множеств  это непустая система подмножеств, замкнутая относительно операций дополнения (разности) и объединения (суммы). Содержание 1 Определение …   Википедия

  • Алгебра (значения) — Алгебра  раздел математики либо математическая структура специального вида (см. Алгебраическая система) Как раздел математики Абстрактная алгебра Алгебра логики  раздел математической логики. Коммутативная алгебра Линейная алгебра… …   Википедия

  • МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ — Под множеством понимается совокупность каких либо объектов, называемых элементами множества. Теория множеств занимается изучением свойств как произвольных множеств, так и множеств специального вида независимо от природы образующих их элементов.… …   Энциклопедия Кольера

  • МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ — наивная учение о свойствах множеств, преимущественно бесконечных, элиминирующее свойства элементов, составляющих эти множества. . Понятие множества принадлежит к числу первоначальных математич. понятий и может быть пояснено только при помощи… …   Математическая энциклопедия

  • алгебра буля — исторически первый раздел математической логики, разработанный ирландским логиком и математиком Дж. Булем в середине XIX в. Буль применил алгебраические методы для решения логических задач и сформулировал на языке алгебры некоторые… …   Словарь терминов логики

  • АЛГЕБРА ЛОГИКИ —         система алгебраич. методов решения логич. задач, а также совокупность задач, решаемых такими методами. А. л. в узком смысле слова алгебраич. (табличное, матричное) построение классич. логики высказываний, в котором рассматриваются… …   Философская энциклопедия

  • Алгебра кортежей — Алгебра кортежей  математическая система моделирования и анализа многоместных отношений. Содержание 1 Использование термина 2 Определение 3 На чем …   Википедия

  • Алгебра Клини — в теоретической информатике, специальная алгебраическая структура, введённая американским математиком Стивеном Клини, являющаяся обобщением алгебры регулярных выражений. Определение Алгеброй Клини называется алгебра сигнатуры , являющаяся… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»