Кольцо (теория множеств)

У этого термина существуют и другие значения, см. Кольцо.

В теории множеств кольцом называют непустую систему множеств R, замкнутую относительно пересечения и симметрической разности конечного числа элементов. Это значит, что для любых элементов A, B из кольца элементы $A \cap B$ и $A \triangle B$ тоже будут лежать в кольце.

Свойства колец

• Пустое множество принадлежит любому кольцу (так как $\varnothing = A \triangle A$).
• Объединение конечного числа элементов кольца принадлежит кольцу, так как $A \cup B = (A \triangle B) \triangle (A \cap B)$.
• Разность элементов кольца также принадлежит кольцу, так как $A \backslash B = A \triangle (A \cap B)$.
• Прямое произведение колец является полукольцом, но не обязано быть кольцом.

Расширения и сужения понятия

Кольцо является частным случаем полукольца. Более того, каждое полукольцо добавлением какого-то количества элементов можно превратить в кольцо. Минимальным кольцом, порождённым данным полукольцом S, называется такое R, что его содержит любое кольцо, содержащее S. Для каждого полукольца S такое R существует и единственно, оно состоит из всевозможных конечных объединений элементов S.

Алгеброй называется кольцо с единицей, то есть таким элементом E, что пересечение E с любым элементом A равно A. Сигма-кольцом называется кольцо, замкнутое относительно счётных объединений элементов, а дельта-кольцом — замкнутое относительно счётных пересечений. Аналогично определяется сигма-алгебра (при этом любая дельта-алгебра является сигма-алгеброй и наоборот).

Примеры

• Борелевская сигма-алгебра множеств на прямой
• Булеан

См. также

• Единица кольца