- АЛГЕБРА МНОЖЕСТВ
- непустая совокупность подмножеств нек-рого множества W, замкнутая относительно теоретико-множественных операций (объединения, пересечения, образования дополнения), производимых в конечном числе. Для того чтобы нек-рый класс подмножеств множества W был А. м., достаточно (и необходимо), чтобы он был замкнут относительно образования объединений и дополнений. А. м., замкнутая относительно образования счетных объединений, наз.
-алгеброй множеств (
-А. <м.). Всякая 
-А. м. замкнута относительно теоретико-множественных операций, производимых в счетном числе.
Примеры. 1) Совокупность конечных подмножеств произвольного множества W и дополнений к ним есть А. м.; совокупность не более чем счетных подмножеств W и дополнений к ним есть
-А. м.
2) Совокупность конечных объединений интервалов вида
образует А. м.
3) W- топологич. пространство;
-А. м. В, порожденная открытыми подмножествами W (иными словами, наименьшая 
-А. м., содержащая все открытые подмножества W), наз. борелевской 
-алгеброй подмножеств W, а множества, принадлежащие В, наз. борелевскими множествами.
4)
где Т- произвольное множество (т. е. W - множество всех действительных функций на Т);класс Амножеств вида
где Е- борелевское подмножество
, образует А. м.; в теории случайных процессов вероятностная мера часто задается первоначально лишь для множеств из алгебры этого типа и затем доопределяется на более широком классе множеств (на 
-алгебре, порожденной А).
5) Совокупность измеримых по Лебегу подмножеств
образует 
-А. м.
Алгебры (соответственно
-алгебры) являются естественной областью определения конечно аддитивных (соответственно 
-аддитивных) мер. По теореме о продолжении меры всякая 
-конечная 
-аддитивная мера, заданная на алгебре А, может быть однозначно продолжена до 
-аддитивной меры, определенной на 
-алгебре, порожденной А.
Лит.:[1] Данфорд Н., Шварц Д ж., Линейные операторы. Общая теория, пер. с англ., М., 1962; [2] Xалмош П., Теория меры, пер. с англ., М., 1953; [3] Невё Ж., Математические основы теории вероятностей, пер. с франц., М., 1969. В. В. Сазонов.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
