Сигма-алгебра


Сигма-алгебра

σ-алгебра (си́гма-а́лгебра) — алгебра множеств, замкнутая относительно операции счётного объединения. Сигма-алгебры играют важнейшую роль в теории меры и интегралов Лебега, а также в теории вероятностей.

Содержание

Определение

Семейство \mathfrak{S} подмножеств множества X называется σ-алгеброй, если оно удовлетворяет следующим свойствам:

  1. \mathfrak{S} содержит пустое множество.
  2. Если E\in \mathfrak{S}, то и его дополнение X\backslash E\in\mathfrak{S}.
  3. Объединение счётного подсемейства из \mathfrak{S} также в \mathfrak{S}.

Замечания

  • Для любой системы множеств \mathcal{S} существует минимальная сигма-алгебра \sigma(\mathcal{S}), являющаяся её надмножеством.
  • Сигма-алгебры являются естественной областью определения счётно-аддитивных мер. Если мера определена частично (на семействе множеств \mathcal{S}) так, что выполнено условие сигма-аддитивности (синоним счётной аддитивности), эта частичная мера имеет единственное продолжение на \sigma(\mathcal{S}), то есть на минимальную сигма-алгебру, это семейство содержащую, и при этом свойство сигма-аддитивности не нарушится.
  • σ-алгебра, порождённая случайной величиной \xi:\,X\rightarrow \mathbb{R}, определяется следующим образом:
\sigma(\xi) = \left\{\xi^{-1}(B)\mid B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\right\},
где \mathcal{B}(\mathbb{R}) — борелевская сигма-алгебра на вещественной прямой. Это — минимальная сигма-алгебра на пространстве X, относительно которой случайная величина \xi всё ещё остаётся измеримой. Эта же конструкция применяется и в том случае, если на пространстве X вообще не выделена никакая сигма-алгебра, в этом случае с помощью функции \xi её можно ввести и наделить таким образом пространство X структурой измеримого пространства, так что функция \xi будет измеримой.

Связанные определения

  • Измеримое пространство — это пара (X, \mathcal F), где X — множество, а \mathcal F — некоторая сигма-алгебра его подмножеств.

Примеры

  • Борелевская сигма-алгебра
  • Для любого множества X можно построить тривиа́льную σ-алгебру \{X,\varnothing\}, где \varnothing — пустое множество.
  • Для любого множества X можно построить ещё одну тривиа́льную σ-алгебру, которая содержит все его подмножества.



Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Сигма-алгебра" в других словарях:

  • Сигма-алгебра событий — …   Википедия

  • Булева сигма-алгебра — Борелевская сигма алгебра это минимальная сигма алгебра, содержащая все открытые подмножества топологического пространства (впрочем, она содержит и все замкнутые). Если не оговорено противное, в качестве топологического пространства выступает… …   Википедия

  • Борелевская сигма-алгебра — это минимальная сигма алгебра, содержащая все открытые подмножества топологического пространства (также она содержит и все замкнутые). Эти подмножества также называются Борелевыми. Если не оговорено противное, в качестве топологического… …   Википедия

  • Алгебра (теория множеств) — У этого термина существуют и другие значения, см. Алгебра (значения). Алгебра множеств в теории множеств  это непустая система подмножеств, замкнутая относительно операций дополнения (разности) и объединения (суммы). Содержание 1 Определение …   Википедия

  • Алгебра (значения) — Алгебра  раздел математики либо математическая структура специального вида (см. Алгебраическая система) Как раздел математики Абстрактная алгебра Алгебра логики  раздел математической логики. Коммутативная алгебра Линейная алгебра… …   Википедия

  • Алгебра множеств — У этого термина существуют и другие значения, см. Алгебра (значения). Алгебра множеств в теории множеств  это непустая система подмножеств, замкнутая относительно операций дополнения (разности) и объединения (суммы). Содержание 1 Определение …   Википедия

  • Сигма — У этого слова несколько значений: Сигма буква греческого алфавита. Сигма (язык) Стандартное отклонение в теории вероятностей. Сигма алгебра в теории множеств. «Сигма» чешский футбольный клуб. Sigma Corporation японский производитель… …   Википедия

  • Σ-алгебра — (сигма алгебра)  это алгебра множеств, замкнутая относительно операции счётного объединения. Сигма алгебры играют важнейшую роль в теории меры и интегралов Лебега, а также в теории вероятностей. Содержание 1 Определение 2 Замечания 3 …   Википедия

  • Борелевская алгебра — Борелевская сигма алгебра это минимальная сигма алгебра, содержащая все открытые подмножества топологического пространства (впрочем, она содержит и все замкнутые). Если не оговорено противное, в качестве топологического пространства выступает… …   Википедия

  • Измеримое пространство — σ алгебра (сигма алгебра)  это алгебра множеств, замкнутая относительно операции счётного объединения. Сигма алгебры играют важнейшую роль в теории меры и интегралов Лебега, а также в теории вероятностей. Содержание 1 Определение 2 Замечания 3 …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.