Полукольцо

Полукольцо

Полукольцо — система множеств S, для которой выполнены следующие условия:

  • \varnothing \in S;
  • \forall A, B \in S \quad A\cap B \in S;
  • \forall A \in S, A_1 \in S \quad A_1 \subset A \Rightarrow \exists A_2, \dots, A_n \subset A : A_1 \sqcup \dots \sqcup A_n = A.

Таким образом, полукольцо содержит в себе пустое множество, замкнуто относительно пересечения и любое множество из полукольца представимо в виде конечного объединения дизъюнктных (попарно не пересекающихся) множеств, принадлежащих этому полукольцу. Полукольцо не замкнуто относительно объединения множеств.

Полукольцом с единицей называют полукольцо с таким элементом E, что его пересечение с любым элементом A полукольца равно A. Применяя метод математической индукции, можно расширить последний пункт определения: если множества A_1, \dots, A_n являются элементами полукольца и подмножествами элемента A, то их можно дополнить непересекающимися элементами A_{n+1}, \dots, A_m до A. Любое кольцо является полукольцом. Прямое произведение полуколец также является полукольцом.

Содержание

Примеры полуколец

  1. Полукольцо \langle \mathbb Z_{0+}, +, \cdot \rangle неотрицательных целых чисел с обычными операциями сложения + и умножения \cdot
  2. Тривиальное полукольцо: \langle \lbrace 0 \rbrace, +, \cdot \rangle
  3. Двухэлементные полукольца: \langle \mathbb Z_2, +, \cdot \rangle, \langle \mathbb B, \oplus, \vee \rangle, где \vee обозначает дизъюнкцию, а \oplus — логическую операцию «исключающее или» над множеством \mathbb B = \lbrace 0, 1 \rbrace
  4. Множество матриц с элементами из полукольца натуральных чисел \mathbb N и операциями матричного сложения и умножения
  5. Множества натуральных чисел \mathbb N, целых чисел \mathbb Z, рациональных чисел \mathbb Q, положительных рациональных чисел \mathbb Q_+, вещественных чисел \mathbb R и положительных вещественных чисел \mathbb R_+ и введенных на них различных комбинаций операций: обычные сложение и умножение, максимум и минимум двух чисел, НОД и НОК, когда они определены

Свойства полуколец

Аксиоматическое определение полукольца впервые появилось в 1934 году в работе Вандовера. Вот это определение.

Непустое множество S с бинарными операциями + и \cdot называется полукольцом, если выполняются следующие аксиомы:

  1. \langle S, + \rangle — коммутативный моноид. То есть имеют место свойства:
  2. \langle S, \cdot \rangleполугруппа. То есть имеет место свойство:
  3. Умножение дистрибутивно относительно сложения:
    • Левая дистрибутивность: a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c для любых a,b,c \in S
    • Правая дистрибутивность: (a+b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c для любых a,b,c \in S
  4. Мультипликативное свойство нуля:
    • a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0 для любого a \in S

Полукольцо называется коммутативным, если операция умножения в нем коммутативна: a \cdot b = b \cdot a \; \forall a,b \in S.

Полукольцо называется полукольцом с единицей, если в нем существует нейтральный элемент по умножению (называемый единицей): a \cdot 1 = 1 \cdot a = a  \; \forall a \in S.

Полукольцо называется мультипликативно (или аддитивно) сократимым, если  \; \forall a,b,c \in S из равенства a \cdot c = b \cdot c (или, соответственно, a+c = b+c) следует, что a = b.

Полукольцо называется мультипликативно (или аддитивно) идемпотентным, если для любого a \in S выполняется равенство a \cdot a = a (или, соответственно, a+a = a).

Примечания

См. также

Ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?
Синонимы:

Полезное


Смотреть что такое "Полукольцо" в других словарях:

  • полукольцо — полукольцо …   Орфографический словарь-справочник

  • полукольцо — полукольцо, полукольца, полукольца, полуколец, полукольцу, полукольцам, полукольцо, полукольца, полукольцом, полукольцами, полукольце, полукольцах (Источник: «Полная акцентуированная парадигма по А. А. Зализняку») …   Формы слов

  • ПОЛУКОЛЬЦО — ПОЛУКОЛЬЦО, полукольца, мн. полукольца, полуколец, полукольцам, ср. 1. Половина кольца (см. кольцо во 2 и 3 знач.). 2. В амуниции род пряжки, имеющей форму полукруга, лат. прописной буквы D (воен.). Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935… …   Толковый словарь Ушакова

  • полукольцо — а; мн. кольца, колец, кольцам; ср. То, что имеет форму половины кольца. Дом в полукольце сада, леса. Город в полукольце блокады. П. школьников. ◁ Полукольцом, в зн. нареч. Река огибает деревню полукольцом. Радуга встала над лесом п. Враг охватил… …   Энциклопедический словарь

  • полукольцо́ — полукольцо, а; мн. кольца, колец, кольцам …   Русское словесное ударение

  • Полукольцо — ср. Половина кольца. Толковый словарь Ефремовой. Т. Ф. Ефремова. 2000 …   Современный толковый словарь русского языка Ефремовой

  • полукольцо — сущ., кол во синонимов: 3 • половина кольца (1) • полукруг (4) • полукружие (3) …   Словарь синонимов

  • полукольцо — полукольцо/, а, мн. полуко/льца, ле/ц …   Слитно. Раздельно. Через дефис.

  • полукольцо — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN semiring …   Справочник технического переводчика

  • полукольцо́ — а, мн. кольца, колец, кольцам, ср. То, что имеет форму половины кольца, расположено в форме половины кольца. Ярко вставал перед глазами Николая красный кирпичный дом, замкнутый в полукольце сада. М. Горький, Три дня. Я встал, направился к двери и …   Малый академический словарь


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»