- Полукольцо
-
Полукольцо — система множеств S, для которой выполнены следующие условия:
- ;
- ;
- .
Таким образом, полукольцо содержит в себе пустое множество, замкнуто относительно пересечения и любое множество из полукольца представимо в виде конечного объединения дизъюнктных (попарно не пересекающихся) множеств, принадлежащих этому полукольцу. Полукольцо не замкнуто относительно объединения множеств.
Полукольцом с единицей называют полукольцо с таким элементом E, что его пересечение с любым элементом A полукольца равно A. Применяя метод математической индукции, можно расширить последний пункт определения: если множества являются элементами полукольца и подмножествами элемента A, то их можно дополнить непересекающимися элементами до A. Любое кольцо является полукольцом. Прямое произведение полуколец также является полукольцом.
Содержание
Примеры полуколец
- Полукольцо неотрицательных целых чисел с обычными операциями сложения и умножения
- Тривиальное полукольцо:
- Двухэлементные полукольца: , , где обозначает дизъюнкцию, а — логическую операцию «исключающее или» над множеством
- Множество матриц с элементами из полукольца натуральных чисел и операциями матричного сложения и умножения
- Множества натуральных чисел , целых чисел , рациональных чисел , положительных рациональных чисел , вещественных чисел и положительных вещественных чисел и введенных на них различных комбинаций операций: обычные сложение и умножение, максимум и минимум двух чисел, НОД и НОК, когда они определены
Свойства полуколец
Аксиоматическое определение полукольца впервые появилось в 1934 году в работе Вандовера. Вот это определение.
Непустое множество с бинарными операциями и называется полукольцом, если выполняются следующие аксиомы:
- — коммутативный моноид. То есть имеют место свойства:
- Коммутативности: для любых
- Ассоциативности: для любых
- Существования нейтрального элемента (нуля): для любого
- — полугруппа. То есть имеет место свойство:
- Ассоциативности: для любых
- Умножение дистрибутивно относительно сложения:
- Левая дистрибутивность: для любых
- Правая дистрибутивность: для любых
- Мультипликативное свойство нуля:
- для любого
Полукольцо называется коммутативным, если операция умножения в нем коммутативна: .
Полукольцо называется полукольцом с единицей, если в нем существует нейтральный элемент по умножению (называемый единицей): .
Полукольцо называется мультипликативно (или аддитивно) сократимым, если из равенства (или, соответственно, ) следует, что .
Полукольцо называется мультипликативно (или аддитивно) идемпотентным, если для любого выполняется равенство (или, соответственно, ).
Примечания
См. также
Ссылки
Категории:- Абстрактная алгебра
- Теория колец
Wikimedia Foundation. 2010.