Алгебра (теория множеств)


Алгебра (теория множеств)

Алгебра (теория множеств)

Алгебра множеств в теории множеств — это непустая система подмножеств, замкнутая относительно операций дополнения (разности) и объединения (суммы).

Содержание

Определение

Семейство \mathfrak{A} \subset 2^{X} подмножеств множества X называется алгеброй, если оно удовлетворяет следующим свойствам:

  1. \mathfrak{A} содержит пустое множество \emptyset.
  2. Если A\in \mathfrak{A}, то и его дополнение X\setminus A\in\mathfrak{A}.
  3. Объединение двух множеств A,B\in \mathfrak{A} также принадлежит \mathfrak{A}.

Замечания

Алгебра событий

Алгебра событийтеории вероятностей) — алгебра подмножеств пространства элементарных событий ~\Omega, элементами которого служат элементарные события.

Как и положено алгебре множеств алгебра событий содержит невозможное событие (пустое множество) и замкнута относительно теоретико-множественных операций, производимых в конечном числе. Достаточно потребовать, чтобы алгебра событий была замкнута относительно двух операций, например, пересечения и дополнения, из чего сразу последует её замкнутость относительно любых других теоретико-множественных операций. Алгебра событий, замкнутая относительно счётного числа теоретико-множественных операций, называется сигма-алгеброй событий.

В теории вероятностей встречаются следующие алгебры и сигма-алгебры событий:

Алгебры и сигма-алгебры событий — это области определения вероятности \mathbf{P}. Если \mathbf{P} (x)=0, то событие x \subseteq \Omega называется невозможным событием; если \mathbf{P}(x)=1, то событие x \subseteq \Omega называется достоверным событием;

Любая сигма-аддитивная вероятность на алгебре событий однозначно продолжается до сигма-аддитивной вероятности, определенной на сигма-алгебре событий, порожденной данной алгеброй событий.

См. также

Литература



Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Алгебра (теория множеств)" в других словарях:

  • Теория множеств — Теория множеств  раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств. Теория множеств лежит в основе большинства математических дисциплин; она оказала глубокое влияние на понимание предмета самой… …   Википедия

  • ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ — теория, в к рой изучаются множества (классы) элементов произвольной природы. Созданная прежде всего трудами Кантора (а также Р. Дедекинда и К. Вейерштрасса), Т. м. к концу 19 в. стала основой построения сложившихся к тому времени математич.… …   Философская энциклопедия

  • Наивная теория множеств — Теория множеств  раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств. Теория множеств лежит в основе большинства математических дисциплин; она оказала глубокое влияние на понимание предмета самой математики. Содержание 1 Теория… …   Википедия

  • Описательная теория множеств — Теория множеств  раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств. Теория множеств лежит в основе большинства математических дисциплин; она оказала глубокое влияние на понимание предмета самой математики. Содержание 1 Теория… …   Википедия

  • Кольцо (теория множеств) — У этого термина существуют и другие значения, см. Кольцо. В теории множеств кольцом называют непустую систему множеств R, замкнутую относительно пересечения и симметрической разности конечного числа элементов. Это значит, что для любых элементов… …   Википедия

  • Полукольцо (теория множеств) — Полукольцо (в теории множеств) система множеств S, для которой выполнены следующие условия: ; ; . Таким образом, полукольцо содержит в себе пустое множество, замкнуто относительно пересечения …   Википедия

  • Проекция (теория множеств) — У этого термина существуют и другие значения, см. Проекция. Проекцией в теории множеств называют одну из двух практически не связанных функций или операций, а именно: Операцию в теории множеств, обозначаемую , выделяющую й компонент элемента… …   Википедия

  • РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ — раздел тео рии рекурсивных функций, в к ром рассматриваются и классифицируются подмножества натуральных чисел с алгоритмич. точки зрения, а также исследуются структуры, возникающие в результате такой классификации. Для каждого множества А, к рое… …   Математическая энциклопедия

  • Решетка (теория множеств) — Решётка, структура  частично упорядоченное множество, в котором каждое двухэлементное подмножество имеет как точную верхнюю (sup), так и точную нижнюю (inf) грани. Отсюда вытекает существование этих граней для любых непустых конечных подмножеств …   Википедия

  • Решётка (теория множеств) — У этого термина существуют и другие значения, см. Решётка. Решётка (ранее использовался термин структура)  частично упорядоченное множество, в котором каждое двухэлементное подмножество имеет как точную верхнюю (sup), так и точную нижнюю… …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «Алгебра (теория множеств)» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.