Конформные преобразования

Взаимно однозначное отображение области D на область D^* (евклидова пространства или риманова многообразия) называется конформным (лат. conformis — подобный), если в окрестности любой точки D дифференциал этого преобразования есть композиция ортогонального преобразования и гомотетии.

Связанные определения

• Если при конформном отображении сохраняется ориентация, то говорят о конформном отображении первого рода; если же она меняется на противоположную, то говорят о конформном отображении второго рода либо антиконформном отображении .
• Две метрики $g,\tilde g$ на гладком многообразии M называются конформноэквивалентными если существует гладкая функция $\psi:M\to\R$ такая что $\tilde g=e^\psi g$. В этом случае тождественное отображение на M индуцирует конформное отображение $(M,g)\to(M,\tilde g)$.

Свойства

Пример конформного отображения. Видно, что перпендикулярность сохраняется.

• Конформное отображение сохраняет форму бесконечно малых фигур;
• Конформное отображение сохраняет углы между кривыми в точках их пересечения (свойство сохранения углов).
  • Это свойство можно также взять за определение конформного отображения.
• Теорема Лиувилля: Всякое конформное отображение области евклидова пространства $\R^n$ при $n\ge 3$ можно представить в виде конечного числа суперпозиций — изометрий и инверсий.
• Кривизна Вейля сохраняется при конформном отображении, т.е. если $\tilde g$ и g - конформноэквивалентные метрики, то
      $\tilde W(X,Y)Z=W(X,Y)Z,$
  где $\tilde W$ и W обозначают тензоры Вейля для $\tilde g$ и g соответственно.
• Для конформно-эквивалентых метрик $\tilde g=e^{2\psi} g$
  • Связности связаны следующей формулой:
       $\tilde\nabla_XY=\nabla_XY+(X\psi)Y+(Y\psi)X-g(X,Y)\nabla\psi)$
  • Кривизны связаны следующей формулой:
        $g(\tilde R(X,Y)Y,X)=g(R(X,Y)Y,X)-$
        $-Hess_\psi (X,X)-Hess_\psi(Y,Y)-|\nabla\psi|^2+(Y\psi)^2$
    если g(X,X) = g(Y,Y) = 1,g(X,Y) = 0,Xψ = 0 а Hess_ψ обозначает Гессиан функции ψ.
  • Формулу для секционных кривизн можно записать в следуцем виде:
        $\tilde K_{X,Y}= f^2K_{X,Y} -{f}[Hess_f (X,X)+Hess_f(Y,Y)]-|\nabla f|^2,$
    где f = e ^{− ψ}.
  • При вычислении скалярной кривизны n-мерного риманова многообразия, удобнее записывать конформный фактор в виде $\tilde g=u^{\tfrac4{n-2}} g$. В этом случае

    $\tilde\operatorname{Sc}=\left(\operatorname{Sc}-\frac{4(n-1)}{n-2}\Delta u\right)/u^{\frac{n+2}{n-2}}$

Примеры

• Простейший пример — преобразования подобия, ими исчерпываются все конформные отображения всего евклидова пространства на себя.
• Инверсия — конформное отображение второго рода;
• Любая голоморфная функция, обратная к которой также голоморфна, определяет конформное отображение первого рода соответствующей области комплексной плоскости;
• Стереографическая проекция.

История

Исследованием конформных отображений занимались Л. Эйлер, Б. Риман, К. Гаусс, А. Пуанкаре, К. Каратеодори, Н. Е. Жуковский, С. А. Чаплыгин.

Применение

Конформное отображение применяется в картографии, электростатике, механике сплошных сред (гидро- и аэромеханика, газовая динамика, теория упругости, теория пластичности и др.).

Литература

• Каратеодори К. Конформное отображение. — М.—Л.: ОНТИ Государственное технико-теоретическое издательство, 1934. Перевод с английского М. Келдыша
• Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ.

См. также

• Условия Коши — Римана
• Теорема Римана об отображении
• Теорема Шварца — Кристоффеля
• Диффеоморфизм

Ссылки

• Примеры конформных отображений, осуществляемых некоторыми элементарными функциями.