Риманово многообразие

Риманово многообразие или риманово пространство (M,g) это вещественное дифференцируемое многообразие M, в котором каждое касательное пространство снабжено скалярным произведением g — метрическим тензором, меняющимся от точки к точке гладким образом. Метрика g есть положительно определённый симметрический тензор — метрический тензор. Другими словами, риманово многообразие это дифференцируемое многообразие, в котором касательное пространство в каждой точке является конечномерным Евклидовым пространством.

Это позволяет определить различные геометрические понятия на Римановых многообразиях, такие как углы, длины кривых, площади (или объёмы), кривизну, градиенты функций и дивергенции векторных полей.

Не стоит путать римановы многообразия с римановыми поверхностями — многообразиями, которые локально выглядят как склейки комплексных плоскостей.

Термин назван в честь немецкого математика Бернхарда Римана.

Обзор

Касательное расслоение гладкого многообразия M ставит в соответствие каждой точке M векторное пространство называемое касательным, и на этом касательном пространстве можно ввести скалярное произведение. Если такой набор введённых скалярных произведений на касательном расслоении многообразия изменяется гладко от точки к точке, то с помощью таких произведений можно ввести метричность на всём многообразии. К примеру, гладкая кривая α(t): [0, 1] → M имеет касательный вектор α′(t₀) в касательном пространстве TM(t₀) в любой точке t₀ ∈ (0, 1), и каждый такой вектор имеет длину ‖α′(t₀)‖, где ‖·‖ обозначает норму индуцированную скалярным произведением на TM(t₀). Интеграл по этим длинам даёт длину всей кривой α:

$L(\alpha) = \int_0^1{\|\alpha'(t)\|\, \mathrm{d}t}.$

Гладкость α(t) для t в [0, 1] гарантирует, что интеграл L(α) существует и длина кривой определенна.

Во многих случаях, для того чтобы перейти от линейно-алгебраической концепции к дифференциально геометрической, гладкость очень важна.

Каждое гладкое подмногообразие Rⁿ имеет индуцированную метрику g: скалярное произведение на каждом касательном пространстве это просто скалярное произведение на Rⁿ. В действительности имеет место теорема Нэша о регулярных вложениях, все римановы многообразия могут быть реализованы таким способом.

Измерение длин и углов при помощи метрики

На Римановом многообразии, длина сегмента кривой, заданной параметрически (как вектор-функция $x(t)$ параметра $t$, меняющегося от $a$ до $b$), равна:

$L = \int\limits_a^b \sqrt{ g_{ij}{dx^i\over dt}{dx^j\over dt}}\,dt = \int\limits_{x(a)}^{x(b)} \sqrt{ g_{ij}\,dx^i\,dx^j}.$

Угол $\theta \$ между двумя векторами, $U=u^i{\partial\over \partial x^i} \$ и $V=v^j{\partial\over \partial x^j} \$ (в искривленном пространстве векторы существуют в касательном пространстве в точке многообразия), определяется выражением:

$\cos \theta = \frac{g_{ij}u^iv^j}{\sqrt{ \left| g_{ij}u^iu^j \right| \left| g_{ij}v^iv^j \right|}}.$

Для псевдоримановой метрики, длина по формуле, которая приведена выше, не всегда определена, потому что выражение под корнем может быть отрицательным. В общем можно определить длину кривой только если знак выражения под корнем либо положительный, либо отрицательный по всей длине кривой. Для псевдоримановой метрики:

$L = \int\limits_a^b \sqrt{ \left|g_{ij}{dx^i\over dt}{dx^j\over dt}\right|}\,dt.$

Заметим, что хотя эти формулы используют координатное представление, результат не зависит от выбора системы координат; он зависит только от метрики и от кривой, вдоль которой происходит интегрирование.

Для улучшения этой статьи желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.