Теорема Шварца — Кристоффеля

Теорема Шварца — Кристоффеля — важная теорема в теории функций комплексного переменного, носит название немецких математиков Карла Шварца и Элвина Кристоффеля.

Очень важной с практической точки зрения является проблема о конформном отображении некой канонической области (единичного круга Δ или верхней полуплоскости ${\mathbb H}^+$) на внутренность произвольного многоугольника. Важность следующей теоремы в том, что она дает общий вид таких отображений.

Теорема

Предположим, что $P\subset\mathbb C$ — некоторый n-угольник, а функция f осуществляет конформное отображение ${\mathbb H}^+$ на P. Тогда f можно представить в виде

$f(z)=C_1\int\limits_0^z\prod_{k=1}^n(\zeta-a_k)^{\alpha_k-1}d\zeta+C_2$,

где $a_1,\dots,a_n$ — прообразы вершин P на вещественной оси, $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ — радианные меры соответствующих внутренних углов, а C₁ и C₂ — так называемые акцессорные параметры. Интеграл в правой части имеет собственное название — его называют интегралом Шварца — Кристоффеля I рода.

В случае, если прообраз одной из вершин многоугольника находится в бесконечности, то формула немного видоизменяется. Если n-ая вершина имеет своим прообразом бесконечно удалённую точку, то формула будет иметь вид

$f(z)=C_1\int\limits_0^z\prod_{k=1}^{n-1}(\zeta-a_k)^{\alpha_k-1}d\zeta+C_2$,

то есть множитель, соответствующий этой вершине, будет просто отсутствовать. Такой интеграл будет интегралом Шварца — Кристоффеля II рода.

Трудность использования этих формул состоит в том, что точки $a_1,\dots,a_n$, как и акцессорные параметры, в общем случае неизвестны. Для их вычисления обычно на многоугольник накладываются какие-то дополнительные нормировки, либо вычисление производится приближённо (что применяется на практике).