Ортогональное преобразование

Ортогональное преобразование — линейное преобразование $\,A$ евклидова пространства $\,L$, сохраняющее длины или (что эквивалентно) скалярное произведение векторов. Это означает, что для любых двух векторов $x,y \in L$ выполняется равенство

$\langle A(x),\,A(y) \rangle = \langle x,\,y \rangle,$

где треугольными скобками обозначено скалярное произведение $\langle x,\,y \rangle$ в пространстве $\,L$.

Свойства

• Ортогональные преобразования (и только они) переводят один ортонормированный базис евклидова пространства в другой.
• Необходимым и достаточным условием ортогональности линейного преобразования $\,A$ является равенство

  $\,A^*=A^{-1}, \qquad (*)$

где $\,A^*$ — сопряжённое, а $\,A^{-1}$ — обратное преобразования.

• В ортонормированном базисе ортогональным преобразованиям (и только им) соответствуют ортогональные матрицы. Таким образом, критерием ортогональности матрицы $\,A$ является равенство (*), где $\,A^*$ — транспонированная, а $\,A^{-1}$ — обратная матрицы.
• Собственные значения ортогональных преобразований равны по модулю $1$, а собственные векторы (вообще говоря, комплексные), отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.
• Определитель ортогонального преобразования равен $1$ (собственное ортогональное преобразование) или $-1$ (несобственное ортогональное преобразование).
• В произвольном $n$-мерном евклидовом пространстве ортогональное преобразование является композицией конечного числа отражений.
• Множество всех ортогональных преобразований евклидова пространства образует группу относительно операции композиции — ортогональную группу данного евклидова пространства. Собственные ортогональные преобразование образуют нормальную подгруппу в этой группе (специальную ортогональную группу).

Размерность два

В случае евклидовой плоскости всякое собственное ортогональное преобразование является поворотом на некоторый угол $\varphi$, и его матрица в любом ортонормированном базисе имеет вид

$\begin{pmatrix}\ \ \ \cos\varphi&\sin\varphi\\-\sin\varphi&\cos\varphi\end{pmatrix}.$

Матрица несобственного ортогонального преобразования имеет вид

$\begin{pmatrix}\ \cos\varphi& \ \ \sin\varphi\\ \sin\varphi&-\cos\varphi\end{pmatrix}.$

Она симметрична, имеет собственными числами 1 и −1 и, следовательно, является инволюцией. В подходящем ортонормированном базисе матрица несобственного ортогонального преобразования имеет вид

$\begin{pmatrix} 1&\ \ 0\\ 0&-1\end{pmatrix},$

то есть оно является отражением относительно некоторой прямой. Собственное ортогональное преобразование есть произведение двух отражений:

$\begin{pmatrix}\ \ \ \cos\varphi& \sin\varphi\\-\sin\varphi&\cos\varphi\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&\ \ 0\\ 0&-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\ \cos\varphi& \ \ \sin\varphi\\ \sin\varphi&-\cos\varphi\end{pmatrix}.$

Размерность 3

В трёхмерном пространстве всякое собственное ортогональное преобразование есть поворот вокруг некоторой оси, а всякое несобственное — композиция поворота вокруг оси и отражения в перпендикулярной плоскости.

Размерность n

Имеет место следующая общая теорема:

Для каждого ортогонального преобразования $A: L \to L$ евклидова $\,n$-мерного пространства $L$ справедливо такое разложение $L = L_1 \oplus L_{-1} \oplus M_{\varphi_1} \oplus \ldots \oplus M_{\varphi_k},$ где все подпространства $\,L_{1},$ $\,L_{-1}$ и $M_{\varphi_i}$ попарно ортогональны и являются инвариантными подпространствами преобразования $\,A$, причём: ограничение $\,A$ на $\,L_1$ есть $\,E$ (тождественное преобразование), ограничение $\,A$ на $\,L_{-1}$ есть $\,-E$, все пространства $M_{\varphi_i}$ двумерны (плоскости), и ограничение $\,A$ на $M_{\varphi_i}$ есть поворот плоскости $M_{\varphi_i}$ на угол $\varphi_i$.

В терминах матрицы преобразования эту теорему можно сформулировать следующим образом:

Для всякого ортогонального преобразования существует такой ортонормированный базис, в котором его матрица $\,A$ имеет блочно-диагональный вид: $A = \left(\begin{matrix} \, 1 & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} \\ \, {} & \ddots & {} & {} & {} & {} & 0 & {} & {} \\ \, {} & {} & 1 & {} & {} & {} & {} & {} & {} \\ \, {} & {} & {} & -1 & {} & {} & {} & {} & {} \\ \, {} & {} & {} & {} & \ddots & {} & {} & {} & {} \\ \, {} & {} & {} & {} & {} & -1 & {} & {} & {} \\ \, {} & {} & {} & {} & {} & {} & A_{\varphi_1} & {} & {} \\ \, {} & {} & 0 & {} & {} & {} & {} & \ddots & {} \\ \, {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & A_{\varphi_k} \\ \end{matrix}\right),$ где $A_{\varphi_i}$ — матрица поворота на угол ${\varphi_i}$ (см. формулу выше), число единиц равно размерности подпространства $\,L_{1}$ и число минус единиц равно размерности подпространства $\,L_{-1}$.

Такая запись матрицы $\,A$ ортогонального преобразования иногда называется приведением к каноническому виду.

См. также

• Ортогональная матрица
• Дискретное ортогональное преобразование

Литература

• Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1975.
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
• Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
• В. А. Ильин, Э. Г. Позняк Линейная алгебра. — Физматлит, Москва, 1999.
• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц, — М.: Наука, 1966.
• Гельфанд И. М., Линейная алгебра. Курс лекций.
• Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия, — М.: Наука, 1986.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.