- Ориентация
-
Ориентация, в классическом случае — выбор одного класса систем координат, связанных между собой «положительно» в некотором определённом смысле. Каждая система задает ориентацию, определяя класс, к которому она принадлежит.
В элементарной математике ориентация часто описывается через понятие «направления по и против часовой стрелки».
Ориентация определяется только для некоторых специальных классов пространств (многообразий, векторных расслоений, комплексов Пуанкаре и т. д.). Современный взгляд на ориентацию даётся в рамках обобщённых теорий когомологий.
Содержание
Конечномерное векторное пространство
В случае векторного пространства конечной размерности над полем вещественных чисел две системы координат считаются связанными положительно, если положителен определитель матрицы перехода от одной из них к другой.
Замечания
Для общего поля определение ориентации представляет трудности. Например, в комплексном пространстве
комплексный репер
определяет вещественный репер
в том же пространстве, рассматриваемом как
, и все такие реперы связаны попарно положительными переходами (иначе говоря, комплексная структура задаёт ориентацию в
).
Вариации и обобщения
Аффинное пространство
На прямой, плоскости и вообще в вещественном аффинном пространстве
системы координат состоят из точки (начала
) и репера
, переход определяется вектором переноса начала и заменой репера. Этот переход положителен, если положителен определитель матрицы замены (например, при чётной перестановке векторов репера).
Две системы координат определяют одну и ту же ориентацию, если одну из них можно перевести в другую непрерывно, то есть существует непрерывно зависящее от параметра
семейство координатных систем
,
, связывающее данные системы
,
и
,
.
При отражении в гиперплоскости системы двух классов переходят друг в друга.
Ориентация может быть задана порядком вершин
-мерного симплекса (треугольника в двумерном случае, тетраэдра в трёхмерном), Репер определяется условием: в первую вершину помещается начало, в остальные из первой направляются векторы репера. Два порядка задают одну ориентацию, если и только если они отличаются на чётную перестановку. Симплекс с фиксированным с точностью до чётной перестановки порядком вершин называется ориентированным. Каждая
-грань ориентированного симплекса получает индуцированную ориентацию: если первая вершина не принадлежит грани, то порядок остальных принимается для неё за положительный.
Многообразия
В связном многообразии
системой координат служит атлас — набор карт, покрывающих
. Атлас называется ориентирующим, если координатные преобразования все положительны. Это означает, что их степени равны
, а в случае дифференцируемого многообразия положительны якобианы преобразования во всех точках. Если ориентирующий атлас существует, то многообразие
называется ориентируемым. В этом случае все ориентирующие атласы распадаются на два класса, так что переход от карт одного атласа к картам другого положителен, если и только если атласы принадлежат одному классу. Выбор такого класса называется ориентацией многообразия. Этот выбор может быть сделан указанием одной карты или локальной ориентации в точке. В случае дифференцируемого многообразия локальную ориентацию можно задать указанием репера в касательной плоскости в точке. Если
имеет край и ориентировано, то край также ориентируем, например по правилу: в точке края берётся репер, ориентирующий
, первый вектор которого направлен из
, а остальные векторы лежат в касательной плоскости края, эти последние и принимаются за ориентирующий репер края.
Дезориентирующий контур
Дезориентирующий контур — замкнутая кривая в многообразии, обладающая тем свойством, что при её обходе локальная ориентация меняет знак.
Дезориентирующий контур имеется только в неориентируемом многообразии
, причём однозначно определён гомоморфизм фундаментальной группы
на
с ядром, состоящим из классов петель, не являющихся дезориентирующими.
Вдоль любого пути
можно выбрать цепочку карт так, что две соседние карты связаны положительно. Тем самым ориентация в точке
определяет ориентацию в точке
, и эта связь зависит от пути
лишь с точностью до его непрерывной деформации при фиксированных концах. Если
— петля, то есть
, то
называется дезориентирующим контуром, если эти ориентации противоположны. Возникает гомоморфизм фундаментальной группы
в группу порядка
: дезориентирующие петли переходят в
, а остальные в
. По этому гомоморфизму строится накрытие, являющееся двулистным в случае неориентируемого многообразия. Оно называется ориентирующим (так как накрывающее пространство будет ориентируемым). Этот же гомоморфизм определяет над
одномерное расслоение, тривиальное, если и только если
ориентируемо. Для дифференцируемого
оно может быть определено как расслоение
дифференциальных форм порядка
. Ненулевое сечение в нём существует лишь в ориентируемом случае и задаёт форму объёма на
и одновременно ориентацию.
На языке гомологий
Ориентация может быть определена на гомологическом языке: для связного ориентируемого многообразия без края группа гомологий
(с замкнутыми носителями) изоморфна
, и выбор одной из двух образующих задаёт ориентацию — отбираются карты с положительными степенями отображений. Для связного многообразия с краем то же верно и для
. В первом случае ориентируемость есть гомотопический инвариант M, а во втором — пары
. Так, лист Мёбиуса и кольцо имеют один и тот же абсолютный гомотопический тип, но разный — относительно края.
Локальная ориентация многообразия может быть также задана выбором образующей в группе
, изоморфной
Гомологическая интерпретация ориентации позволяет перенести это понятие на обобщённые гомологические многообразия.
Псевдомногообразия
Триангулированное многообразие
(или псевдомногообразие) ориентируемо, если можно ориентировать все
-мерные симплексы так, что два симплекса с общей
-мерной гранью индуцируют на ней противоположные ориентации. Замкнутая цепочка
-мерных симплексов, каждые два соседа в которой имеют общую
-грань, называется дезориентирующей, если эти симплексы могут быть ориентированы так, что первый и последний симплексы индуцируют на общей грани совпадающие ориентации, а остальные соседи — противоположные.
Расслоения
Пусть над пространством
задано расслоение
со стандартным слоем
. Если ориентацию всех слоев можно выбрать так, что любое (собственное) отображение, определённое путем в
однозначно с точностью до собственной гомотопии, сохраняет ориентацию, то расслоение называется ориентированным, а указанный выбор ориентации слоёв — ориентацией расслоения. Например, лист Мёбиуса, рассматриваемый как векторное расслоение над окружностью, не обладает ориентацией, в то время как боковая поверхность цилиндра — обладает.
Бесконечномерные пространства
Понятие ориентации допускает естественное обобщение и для случая бесконечномерного многообразия, моделированного при помощи бесконечномерного банахова или топологического векторного пространства. При этом необходимы ограничения на линейные операторы, являющиеся дифференциалами функций перехода от карты к карте: они должны не просто принадлежать общей линейной группе всех изоморфизмов моделирующего пространства, которая гомотопически тривиальна (в равномерной топологии) для большинства классических векторных пространств, а содержаться в некоторой линейно несвязной подгруппе общей линейной группы. Тогда компонента связности данной подгруппы и будет задавать «знак» ориентации. В качестве такой подгруппы обычно выбирается фредгольмова группа, состоящая из тех изоморфизмов моделирующего пространства, для которых разность с тождественным изоморфизмом есть вполне непрерывный оператор.
См. также
В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.
Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.
Эта отметка установлена 14 мая 2011.Категории:- Топология
- Линейная алгебра
Wikimedia Foundation. 2010.