Гомотетия

Гомоте́тия (от др.-греч. ὁμός — «одинаковый» и θετος — «расположенный») — один из видов преобразований подобия.

Гомотетией c центром O и коэффициентом k ($k\ne 0$) называют преобразование плоскости (или пространства), переводящее точку $X$ в точку $X'$, обладающую тем свойством, что $\overrightarrow{OX'}=k\overrightarrow{OX}$. Гомотетию с центром O и коэффициентом k часто обозначают через $H_O^k$.

Свойства

• Если коэффициент гомотетии равен 1, то гомотетия является тождественным преобразованием: образ каждой точки совпадает с ней самой.
• Если коэффициент гомотетии равен -1, то гомотетия является центральной симметрией.
• Как и любое преобразование подобия, гомотетия преобразует прямую в прямую, отрезок в отрезок, луч в луч, угол в угол, окружность в окружность.
• Как и любое преобразование подобия, гомотетия сохраняет величины углов между кривыми.

Вариации и обобщения

• Поворотной гомотетией называют композицию гомотетии и поворота, имеющих общий центр. Порядок, в каком берется композиция, несущественен, так как $R_O^{\varphi}\circ H_O^k=H_O^k\circ R_O^{\varphi}$. Коэффициент поворотной гомотетии можно считать положительным, так как $R_O^{180^{\circ}}\circ H_O^k=H_O^{-k}$.

См. также

• Аффинное преобразование
• Коллинеарность
• Непрерывное отображение
• Отношение направленных отрезков
• Подобие

Ссылки

• Гомотетия — статья из Большой советской энциклопедии

Для улучшения этой статьи желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Добавить иллюстрации.