- Гессиан функции
-
Гессиан функции — симметрическая квадратичная форма , описывающая поведение функции во втором порядке.
Для функции , дважды дифференцируемой в точке
или
где (или ) и функция задана на -мерном вещественном пространстве (или комплексном пространстве ) с координатами (или ). В обоих случаях гессиан — квадратичная форма, заданная на касательном пространстве, не меняющаяся при линейных преобразованиях переменных. Гессианом также часто называют и определитель матрицы см. ниже.
Содержание
Матрица Гессе
Матрица этой квадратичной формы образована вторыми частными производными функции. Если все производные существуют, то
Определитель этой матрицы называется определителем Гессе, или просто гессианом .
Матрицы Гессе используются в задачах оптимизации методом Ньютона. Полное вычисление матрицы Гессе может быть затруднительно, поэтому были разработаны квазиньютоновские алгоритмы, основанные на приближённых выражениях для матрицы Гессе. Наиболее известный из них — алгоритм Бройдена — Флетчера — Гольдфарба — Шанно (англ.).
Симметрия матрицы Гессе
Смешанные производные функции f — это элементы матрицы Гессе, стоящие не на главной диагонали. Если они непрерывны, то порядок дифференцирования не важен:
Это можно также записать как
В этом случае матрица Гессе симметрична.
Критические точки функции
Если градиент (её векторная производная) равен нулю в некоторой точке , то эта точка называется критической. Достаточным условием существования экстремума в этой точке является знакоопределённость гессиана f (понимаемого в данном случае как квадратичная форма), а именно:
- если гессиан положительно определён, то — точка локального минимума функции ,
- если гессиан отрицательно определён, то — точка локального максимума функции ,
- если гессиан не является знакоопределённым (принимает как положительные, так и отрицательные значения) и невырожден , то — седловая точка функции .
Вариации и обобщения
Если f — векторнозначная функция, то есть
то её вторые частные производные образуют не матрицу, а тензор ранга n+1.
История
Понятие введено Людвигом Отто Гессе (1844), который использовал другое название. Термин «гессиан» был введён Джеймсом Джозефом Сильвестром.
См. также
- Якобиан
- Критическая точка (математика)
- Лемма Морса
- Критерий Сильвестра — критерий положительной / отрицательной определённости квадратной матрицы
Ссылки
- Зорич В. А. Математический анализ. — Любое издание.
- Кудрявцев Л.Д «Краткий курс математического анализа. Т.2. Дифференциальное и интегральное исчисления функций многих переменных. Гармонический анализ», ФИЗМАТЛИТ, 2002, — 424 с. — ISBN 5-9221-0185-4. Или любое другое издание.
- Голубицкий М., Гийемин В. Устойчивые отображения и их особенности, — М.: Мир, 1977.
Категории:- Теория Морса
- Математический анализ
- Типы матриц
- Дифференциальные операторы
Wikimedia Foundation. 2010.