Комплексный анализ (исторический очерк)


Комплексный анализ (исторический очерк)

Ко́мпле́ксный ана́лиз[1][2] или тео́рия фу́нкций ко́мпле́ксного переме́нного (ко́мпле́ксной переме́нной) (ТФКП) — часть математического анализа, в которой рассматриваются и изучаются функции комплексного аргумента.

Содержание

Общие понятия

Для начала отметим, что каждая комплексная функция w = f(z) = f(x + iy) может рассматриваться как пара вещественных функций от двух переменных: f(z) = u(x,y) + iv(x,y), определяющих её вещественную и мнимую часть соответственно. Функции u, v называются компонентами комплексной функции f(z).

Понятие предела функции вводится так же, как и в вещественном случае, с заменой абсолютной величины на комплексный модуль. Если \lim_{z \to a+bi}f(z) = A+Bi, то \lim_{x \to a, y \to b}u(x,y) = A и \lim_{x \to a, y \to b}v(x,y) = B, и обратно.

Непрерывность комплексной функции тоже определяется так же, как в вещественном случае, и она равносильна непрерывности обеих её компонент.

Все основные теоремы о пределе и непрерывности вещественных функций имеют место и в комплексном случае, если это расширение не связано со сравнением комплексных величин на больше-меньше. Например, нет аналога теореме о промежуточных значениях непрерывной функции.

Дифференцирование

Определение

Производная для комплексной функции одного аргумента w = f(z) определяется так же, как и для вещественной:

f^\prime(z) = \frac{dw}{dz} = \lim_{h \to 0}\frac{f(z+h) - f(z)}{h}\,.

(здесь h — комплексное число). Если этот предел существует, функция называется дифференцируемой или голоморфной. При этом

f(z+h)-f(z) = \frac{df}{dz} \cdot h + o(h)

Следует учитывать одну важную особенность: поскольку комплексная функция задана на плоскости, существование приведённого предела означает, что он одинаков при стремлении к z с любого направления. Этот факт накладывает существенные ограничения на вид функций-компонент u,v и определяет их жёсткую взаимосвязь (условия Коши — Римана):


\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}; \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\,

Другими словами, гладкость u и v не гарантирует дифференцируемости самой функции.

Более того, имеют место следующие свойства, отличающие комплексный анализ от вещественного:

  • Всякая дифференцируемая в некоторой окрестности точки z комплексная функция дифференцируема неограниченное число раз и аналитична в этой окрестности.
  • Обе компоненты дифференцируемой комплексной функции являются гармоническими функциями, то есть удовлетворяют уравнению Лапласа:

\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0; \qquad \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = 0\,
  • Любая гармоническая функция может быть как вещественной, так и мнимой компонентой дифференцируемой функции. При этом другая компонента определяется однозначно (из условий Коши-Римана), с точностью до константы-слагаемого.

Таким образом, любая дифференцируемая комплексная функция — это функция вида u + iv, где u,v — взаимосвязанные гармонические функции двух аргументов.

Геометрический смысл

Каждая комплексная функция w = f(z) = u(x,y) + iv(x,y) определяет некоторое отображение комплексной плоскости (x,y) на другую комплексную плоскость с координатами u,v. При этом выражение:

\left |\frac{f(z+h) - f(z)}{h}\right |

при малом h геометрически можно истолковать как коэффициент растяжения, которое выполняет данное отображение при переходе от точки z к точке z + h. Тогда существование предела этого выражения, то есть модуля производной, означает, что коэффициент растяжения одинаков в любом направлении от точки z.

Что касается аргумента производной, то он определяет угол поворота гладкой кривой, проходящей через точку z. Все гладкие кривые при таком отображении поворачиваются на один и тот же угол. Отображения, сохраняющие углы, называются конформными; таким образом, любая дифференцируемая комплексная функция определяет конформное отображение (в той области, где её производная не обращается в ноль). С этим фактом связано широкое применение комплексных функций в картографии и гидродинамике[3].

Интегрирование

Понятие первообразной комплексной функции (неопределённого интеграла) вводится так же, как в вещественном случае. Однако аналог определённого интеграла в интервале от a до b на комплексной плоскости не существует, так как путь от начальной точки до конечной неоднозначен. Поэтому основным видом комплексного интеграла является криволинейный интеграл, зависящий от конкретного пути.

Пусть уравнение z = z(t), a \leqslant t \leqslant b определяет некоторую кусочно-гладкую кривую γ в комплексной плоскости, а функция ~f(z) определена в точках этой кривой. Разделим интервал задания параметра на n равных частей: a = t_0 < t_1 < \dots <  t_n = b и рассмотрим интегральную сумму:

\sum_{1 \leqslant k \leqslant n} f(z(t_k)) ( z(t_k) - z(t_{k-1}) )

Предел этой суммы при неограниченном возрастании n называется (комплексным) интегралом по кривой γ от данной функции f(z); он обозначается:

\int\limits_\gamma\!f(z)\,dz

Для любой функции f(z), непрерывной вдоль γ, этот интеграл существует и может быть вычислен через обычный вещественный интеграл по параметру:

\int\limits_\gamma\!f(z)\,dz=\int\limits_a^b\!f(z(t))z'(t)\,dt=\int\limits_\gamma\! u\,dx - v\,dy + i\int\limits_\gamma\!v\,dx + u\,dy

Здесь u,v — компоненты f(z).

Если кривая γ образует замкнутый контур (то есть конечная точка пути совпадает с начальной), употребляется особое обозначение интеграла:

\oint\limits_\gamma\!f(z)\,dz

Имеет место важная интегральная теорема Коши: для любой функции f(z), аналитической в односвязной области A\subset\mathbb C и для любой замкнутой кривой \gamma\subset A справедливо соотношение \oint\limits_\gamma\!f(z)\,dz=0. Другие мощные инструменты для вычисления комплексных и вещественных интегралов:

Приложения в вещественном анализе

С помощью теории вычетов, являющейся частью ТФКП, вычисляются многие сложные интегралы по замкнутым контурам.

Средствами комплексного анализа объясняются некоторые моменты, не поддающиеся простой интерпретации в терминах вещественного анализа. Приведем классический пример: функция

f(x)=\frac{1}{1+x^2}

непрерывна и бесконечно дифференцируема на всей вещественной прямой. Рассмотрим её ряд Тейлора

\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+\dots

Этот ряд сходится только в интервале ( − 1;1), хотя точки \ \pm 1 не являются какими-то особенными для f(x).

Положение проясняется при переходе к функции комплексного переменного f(z)=\frac{1}{1+z^2}, у которой обнаруживаются две особые точки: \pm i. Соответственно, эту функцию можно разложить в ряд Тейлора только в круге \Delta=\left\{z\colon|z|<1\right\}.

История

Фундаментальные работы в комплексном анализе связаны с именами Римана, Коши, Вейерштрасса и многих других известных математиков. Теория конформных отображений стала бурно развиваться благодаря имеющимся примененениям в инженерном деле, также методы и результаты комплексного анализа применяются в аналитической теории чисел. Новый всплеск интереса к комплексному анализу связан с комплексной динамикой и теорией фракталов.

См. также

Примечания

  1. Школьная энциклопедия «Математика». Издательство «Большая Российская энциклопедия». 1996 год. Гл. ред. С.М. Никольский.
  2. «Русский орфографический словарь» Российской академии наук под ред. В. В. Лопатина указывает ударение компле́ксный, ряд других словарей допускают оба варианта ударения, см. ГРАМОТА.РУ
  3. О применении конформных отображений в гидродинамике см.: Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. — М.: Наука, 1973.

Литература


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Комплексный анализ (исторический очерк)" в других словарях:

  • Лингвостилистический анализ художественного текста — – подробный и тщательный анализ роли и функций языковых средств разных уровней в организации и выражении идейно тематического содержания произведения. Начало формирования теоретических основ Л. а. х. т. было заложено в работе известного русского… …   Стилистический энциклопедический словарь русского языка

  • Математический анализ — У этого термина существуют и другие значения, см. Анализ. Математический анализ  совокупность разделов математики, посвящённых исследованию функций и их обобщений методами дифференциального и интегрального исчислений. При столь общей… …   Википедия

  • Логарифм — График двоичного логарифма Логарифм числа …   Википедия

  • Дифференциальное и интегральное исчисление — Математический анализ  совокупность разделов математики, посвященных исследованию функций и их обобщений методами дифференциального и интегрального исчислений. При столь общей трактовке к анализу следует отнести и функциональный анализ вместе с… …   Википедия

  • НАУКА — особый вид познавательной деятельности, направленный на выработку объективных, системно организованных и обоснованных знаний о мире. Взаимодействует с др. видами познавательной деятельности: обыденным, художественным, религиозным, мифологическим …   Философская энциклопедия

  • Методы лингвостилистического анализа — – это совокупность различных приемов анализа текста (и его языковых средств), с помощью которых в стилистике формируются знания о закономерностях функционирования языка в различных сферах общения; способы теоретического освоения наблюдаемого и… …   Стилистический энциклопедический словарь русского языка

  • История математики — История науки …   Википедия

  • Китай —         Китайская Народная Республика, КНР (кит. Чжунхуа жэньминь гунхэго).          I. Общие сведения К. крупнейшее по численности населения и одно из крупнейших по площади государств в мире; расположен в Центральной и Восточной Азии. На востоке …   Большая советская энциклопедия

  • Десятичные логарифмы — Рис. 1. Графики логарифмических функций Логарифм числа b по основанию a определяется как показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b. Обозначение: . Из определения следует, что записи и ax = b равносильны. Пример …   Википедия

  • Комплексные логарифмы — Рис. 1. Графики логарифмических функций Логарифм числа b по основанию a определяется как показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b. Обозначение: . Из определения следует, что записи и ax = b равносильны. Пример …   Википедия