Гармоническая функция

Гармони́ческая фу́нкция — вещественная функция $U$, определенная и дважды непрерывно дифференцируемая на евклидовом пространстве $D$ (или его открытом подмножестве), удовлетворяющая уравнению Лапласа:

$\Delta U = 0,\$

где $\Delta=\sum_{i=1}^n\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}$ — оператор Лапласа, то есть сумма вторых производных по всем прямоугольным декартовым координатам x_i (n = dim D - размерность пространства).

Например, гармонической функцией является электростатический потенциал в точках, где отсутствует заряд.

Свойства

Принцип максимума

Функция U, гармоническая в области $D$, достигает своего максимума и минимума только на границе $\partial D$. Таким образом, гармоническая функция не может иметь во внутренней точке области локального экстремума, за исключением тривиального случая постоянной в $D$ функции. Однако функция может быть неопределена на границе, поэтому правильнее сказать $\forall m \in D \inf_{Q \in D}U(Q) < U(m) < \sup_{Q \in D}U(Q)$

Теорема Лиувилля

Гармоническая функция, определённая на $\Bbb{R}^n$ и ограниченная сверху или снизу, постоянна.

Свойство среднего

Если функция $u$ гармонична в некотором шаре $B(x_0)$ с центром в точке $x_0$, то её значение в точке $x_0$ равно её среднему значению по границе этого шара или по шару:

$u(x_0) = \frac{1}{\mu(\partial B)} \int\limits_{\partial B} u dS = \frac{1}{\mu (B)} \int\limits_{B} u dV$

где $\mu (B)$ — объём шара $B(x_0)$ и $\mu(\partial B)$ — площадь его границы. Обратно, любая функция, обладающая свойством среднего в некоторой области, является в этой области гармонической.

Дифференцируемость

Функция, гармоническая в области, бесконечно дифференцируема в ней.

Литература

• Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. — Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-X

См. также

• Оператор Лапласа
• Задача Дирихле
• Голоморфная функция
• Субгармоническая функция
• Плюригармоническая функция