Ряд Тейлора

Ряд Тейлора

Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.

Ряд назван в честь английского математика Брука Тейлора, хотя ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора — его использовали ещё в XVII веке Грегори, а также Ньютон.

Ряды Тейлора применяются при аппроксимации функции многочленами. В частности, линеаризация уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.

Содержание

Определение

Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки {a}. Формальный ряд

\sum_{k=0}^\infty {f^{(k)} (a) \over k!} (x - a)^k

называется рядом Тейлора функции f в точке a.

Связанные определения

  • В случае, если a=0, этот ряд также называется рядом Макло́рена.

Свойства

  • Если f есть аналитическая функция в любой точке a, то её ряд Тейлора в любой точке a области определения f сходится к f в некоторой окрестности a.
  • Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности a. Например, Коши предложил такой пример:
    f(x)=
\left\{
\begin{matrix}
0,&\ \ x=0\\
e^{-\frac{1}{x^2}} &\ \ x\not=0
\end{matrix}
\right.,\ \  a=0.

У этой функции все производные в нуле равны нулю, поэтому коэффициенты ряда Тейлора в точке a=0 равны нулю.

Формула Тейлора

Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

Теорема:

тогда: \exists точка \xi\in (x,a) при x < a или \xi\in (a,x) при x > a:

f(x) = f(a) + \sum_{k=1}^n {f^{(k)} (a) \over k!} (x - a)^k + \left({x - a \over x - \xi}\right)^p{(x - \xi)^{n+1}\over n! p}f^{(n+1)}(\xi)


Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха — Роша).

Различные формы остаточного члена

В форме Лагранжа:

R_{n+1}(x) = {(x - a)^{n+1} \over (n+1)!}f^{(n+1)} [a + \theta(x - a)] \qquad p = n+1; \qquad 0 < \theta < 1

В форме Коши:

R_{n+1}(x) = {(x - a)^{n+1} (1 - \theta)^n \over n!}f^{(n+1)} [a + \theta(x - a)] \qquad p = 1; \qquad 0 < \theta < 1

В интегральной форме:

R_{n+1}(x) = {1 \over n!}\int\limits_a^x (x-t)^n f^{(n+1)} (t)\,dt

Ослабим предположения:

  • Пусть функция f(x) имеет n-1 производную в некоторой окрестности точки a
  • И n производную в самой точке a, тогда:
R_{n+1}(x) = o[(x - a)^n ]~ — остаточный член в асимптотической форме (в форме Пеано, в локальной форме)

Ряды Маклорена некоторых функций

Формула Тейлора для функции двух переменных

Пусть функция f(x,y) имеет полные производные вплоть до n-го порядка включительно в некоторой окрестности точки (x_0, y_0). Введём дифференциальный оператор

\mathrm{T}=(x-x_0)\dfrac {\partial} {\partial x}+(y-y_0)\dfrac {\partial} {\partial y}.

Тогда разложением в ряд Тейлора функции f(x,y) по степеням (x-x_0)^k и (y-y_0)^k в окрестности точки (x_0, y_0) будет

f(x,y)=\sum\limits_{k=0}^n \dfrac {\mathrm{T}^k f(x_0,y_0)} {k!} + R_n(x,y),

где R_n(x,y) — остаточный член в форме Лагранжа:

R_n(x,y)=\dfrac {\mathrm{T}^{(n+1)} f(\xi,\zeta)} {(n+1)!},\ \xi \in [x_0,x],\ \zeta \in [y_0,y]

В случае функции одной переменной \mathrm{T}=(x-x_0)\dfrac d {dx}, поскольку для функции одной переменной частная производная тождественно равна полной. Аналогично формула распространяется на функции от любого числа переменных, меняется только число слагаемых в операторе \mathrm{T}.

См. также

Литература

  • Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б. Х. Математический анализ, ч. 1, изд. 3, ред. А. Н. Тихонов. М.: Проспект, 2004.
  • Киселёв В. Ю., Пяртли А. С., Калугина Т. Ф. Высшая математика. Первый семестр, Интерактивный компьютерный учебник.
  • Петрова С. С., Романовска Д. А. К истории открытия ряда Тэйлора. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1980. — № 25. — С. 10-24.
  • Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике, изд.: АЙРИС-пресс, 2002.


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Ряд Тейлора" в других словарях:

  • Ряд тейлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Ряд назван в честь английского математика Тейлора, хотя ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора его использовали ещё в XVII веке Грегори, а также Ньютон. Ряды Тейлора… …   Википедия

  • ряд Тейлора — — [http://slovarionline.ru/anglo russkiy slovar neftegazovoy promyishlennosti/] Тематики нефтегазовая промышленность EN Taylor series …   Справочник технического переводчика

  • разложение в ряд Тейлора — — [http://slovarionline.ru/anglo russkiy slovar neftegazovoy promyishlennosti/] Тематики нефтегазовая промышленность EN Taylor s expansion …   Справочник технического переводчика

  • Ряд Маклорена — Ряд Тейлора разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Ряд назван в честь английского математика Тейлора, хотя ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора его использовали ещё в XVII веке Грегори, а также Ньютон. Ряды… …   Википедия

  • Тейлора ряд — степенной ряд вида где f(а), f (a), f (а), ...  значения заданной функции f(х) и её последовательных производных при х = а (если а = 0, то ряд Тейлора называют рядом Маклорена). Частные суммы ряда Тейлора  важный аппарат приближённого… …   Энциклопедический словарь

  • Ряд (математика) — Сумма ряда, или бесконечная сумма, или ряд, математическое выражение, позволяющее записать бесконечное количество слагаемых и подразумевающее значение их суммы, которое можно получить в предельном смысле. Если значение суммы (в предельном смысле) …   Википедия

  • Ряд (математич.) — Сумма ряда, или бесконечная сумма, или ряд, математическое выражение, позволяющее записать бесконечное количество слагаемых и подразумевающее значение их суммы, которое можно получить в предельном смысле. Если значение суммы (в предельном смысле) …   Википедия

  • ТЕЙЛОРА РЯД — степенной ряд вида где f(а), f (а), f (а),... значения заданной функции f(х) и ее последовательных производных при х=а (если а=0, то Тейлора ряда называют рядом Маклорена). Частные суммы Тейлора ряда важный аппарат приближенного представления… …   Большой Энциклопедический словарь

  • ТЕЙЛОРА РЯД — степенной ряд, описывающий поведение данной ф ции f( х) в окрестности заданной точки. Точнее, если f(x )в точке х0 имеет бесконечное число производных, то её Т. р. имеет вид Т. р. назван по имени Б. Тейлора (В. Taylor), опубликовавшего ряд (*) в… …   Физическая энциклопедия

  • Ряд Бюрмана — Лагранжа — определяется как разложение голоморфной функции f(z) по степеням другой голоморфной функции w(z) и представляет собой далеко идущее обобщение ряда Тейлора. Пусть f(z) и w(z) голоморфны в окрестности некоторой точки , притом w(a) = 0 и a простой… …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «Ряд Тейлора» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»