Гауссовы целые числа

Гауссовы целые числа (гауссовы числа, целые комплексные числа) — это комплексные числа, у которых как вещественная, так и мнимая часть — целые числа. Введены Гауссом в 1825 году.

Определение и операции

Формальное определение:

$\{a+bi \mid a,b\in \mathbb{Z} \}$.

Решётка гауссовых чисел на комплексной плоскости

Относительно обычных для комплексных чисел операций сложения и умножения гауссовы целые числа образуют область целостности, которую обозначают Z[i]. Расширить её до упорядоченного кольца невозможно.

Каждое гауссово число $z=a+bi$ удовлетворяет квадратному уравнению:

$(z-a)^2+b^2=0$.

Поэтому гауссово число есть целое алгебраическое число.

Определим норму для гауссова числа a + bi как квадрат его модуля:

$N \left(a+bi \right) = a^2+b^2 = (a+bi)\overline{(a+bi)}$

Очевидно, норма равна нулю только для нуля. В остальных случаях норма — положительное число.

Норма, как и модуль, обладает важным свойством мультипликативности:

$N(u\cdot v) = N(u)\cdot N(v)$

Отсюда сразу следует, что обратимыми элементами кольца (делителями единицы) являются те элементы, у которых норма равна 1, то есть { 1; −1; i; −i }.

Два гауссовых числа называются ассоциированными, если одно получается из другого умножением на делитель единицы. Ясно, что ассоциированность — отношение эквивалентности.

Теория делимости

Понятия деления нацело, делителя и частного от деления определяются обычным образом. Все гауссовы числа делятся на делители единицы, поэтому любое гауссово число, отличное от делителей единицы, имеет как минимум 8 делителей: 4 делителя единицы и 4 их произведения на само это число. Эти делители называются тривиальными.

Простое гауссово число — это число, не имеющее других делителей, кроме тривиальных. Число, не являющееся простым, называется составным. При этом делители единицы, подобно натуральной единице, не считаются ни простыми, ни составными числами.

Несколько простых свойств деления в Z[i]:

• Все делители гауссова числа z являются также делителями его нормы $N(z)=z \cdot \overline{z}$.
• Если гауссово число u нацело делится на гауссово число v, то и норма N(u) (в силу мультипликативности) делится нацело на N(v).

Распределение гауссовых простых чисел на комплексной плоскости (простые числа выделены красным цветом)

Имеет место аналог основной теоремы арифметики: каждое гауссово число, не являющееся нулём или делителем единицы, разлагается на простые множители, причём это разложение однозначно с точностью до порядка и ассоциированности множителей.

Однако натуральное простое число может не быть гауссовым простым числом. Например, числа 2 и 5 в Z[i] уже не простые:

$2 = (1+i)(1-i);\quad 5 = (2+i)(2-i)$

Критерий Гаусса. Гауссово число $a+bi$ является простым тогда и только тогда, когда:

• либо одно из чисел a, b нулевое, а другое — целое простое число вида $\pm(4n+3)$;
• либо a, b оба не нули и норма $a^2+b^2$ — простое натуральное число.

Отсюда видно, что никакое простое натуральное число вида $4n+1$ не может быть простым гауссовым числом. Простые натуральные числа вида $4n+3$ являются и простыми гауссовыми числами. Из критерия Гаусса видно, что норма простого гауссова числа является либо простым натуральным числом, либо квадратом простого натурального числа.

Приведём ещё несколько теорем о делимости гауссовых чисел.

1. Каждое простое гауссово число является делителем одного и только одного простого натурального числа.
2. Простое натуральное число вида $4n+1$ можно представить как произведение сопряжённых простых гауссовых чисел $(a+b i)(a-b i)$ или, что то же самое, как сумму квадратов $a^2+b^2$. Этот факт известен как Теорема Ферма — Эйлера. Именно при исследовании данной темы, а также теории биквадратичных вычетов, Гаусс с успехом применил целые комплексные числа.

Теория сравнений

В кольце Z[i] можно определить деление с остатком (на любое ненулевое гауссово число), потребовав, чтобы норма остатка была меньше нормы делителя. Несложно показать, что в качестве частного от деления с остатком можно взять гауссово число, ближайшее к частному от обычного деления комплексных чисел. Кольцо гауссовых чисел является евклидовым, и в нём всегда можно определить наибольший общий делитель.

Понятие сравнения по модулю определяется аналогично тому, как это делается для целых чисел. Кольцо вычетов по модулю a + bi имеет $a^2+b^2$ элементов, то есть его порядок совпадает с нормой порождающего числа.

Любое гауссово число сравнимо по любому модулю с некоторым натуральным числом.

Необходимо отметить, что условие «норма остатка меньше нормы делителя» недостаточно для того, чтобы гарантировать однозначность остатка от деления нацело. В Z[i], в отличие от Z, остаток неоднозначен. Разделим, например, 7 + 2i на 3 - i:

$7+2i = (3-i)(2+i)+i = (3-i)(1+i)+3$

Можно гарантировать только то, что все остатки попадают в один класс вычетов по модулю делителя.

Литература

• Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — М.: Мир, 1987. — 416 с.
• Калужнин Л. А. Основная теорема арифметики. — М.: Наука, 1969. — С. 32. — (Популярные лекции по математике).
• В. Сендеров, А. Спивак Суммы квадратов и целые гауссовы числа // Квант. — 1999. — № 3. — С. 14-22.

Ссылки

• From Numbers to Rings: The Early History of Ring Theory, by Israel Kleiner (Elem. Math. 53 (1998) 18 — 35)
• Complex Gaussian Integers for 'Gaussian Graphics'