- Алгебра Темперли
-
Алгебра Темперли — Либа, в статистической механике — алгебра, при помощи которой строятся некоторые трансфер-матрицы. Открыты Невиллом Темперли и Эллиотом Либом. Также алгебра применяется в теории интегрируемых моделей, имеет отношение теории узлов и групп кос, квантовым группам и подфакторам алгебр фон Неймана.
Определение
Пусть
— коммутативное кольцо (чаще всего это просто поле вещественных чисел), в котором зафиксирован элемент
. Алгеброй Темперли-Либа
называется
-алгебра образованная генераторами
, подчиняющимися соотношениям Джонса:
при
при
при
при
, таких что
можно представить как векторное пространство, с базисными векторами, каждый из которых представляет собой диаграмму в виде квадрата, на двух противоположных сторонах которого находятся по
точек. Точки образуют n пар, каждая пара соединена кривой, и никакие две кривые не пересекаются. Пять базисных векторов
выглядят следующим образом:
Умножение двух базисных элементов происходит соединением двух квадратов стык-в-стык, после каждый образовавшийся цикл дает множитель δ. Например:
Единичным элементом является диаграмма с n горизонтальными прямыми, а генератор
— диаграмма, в которой i-ая вершина соединена с i+1-ой, 2n − i + 1-ая точка — с 2n − i-ой точкой, а все остальные точки соединены с противоположными себе. К примеру, генераторами
являются:
Слева направо: тождественный элемент (единица) и генераторы U1, U2, U3, U4.
Соотношения Джонса можно пронаблюдать графически:
Ссылки для дальнейшего изучения
- Louis H. Kauffman, State Models and the Jones Polynomial. Topology, 26(3):395-407, 1987.
- R.J. Baxter, Exactly solved models in statistical mechanics Academic Press Inc. (1982)
- N. Temperley, E. Lieb, Relations between the percolation and colouring problem and other graph-theoretical problems associated with regular planar lattices: some exact results for the percolation problem. Proceedings of the Royal Society Series A 322 (1971), 251—280.
Для улучшения этой статьи желательно?: - Викифицировать статью.
- Проставив сноски, внести более точные указания на источники.
Категории:- Алгебра
- Теория узлов
- Группа кос
- Диаграммные алгебры
Wikimedia Foundation. 2010.