Простое кольцо (алгебра)

Определение

Кольцо $R$ называется простым, если $R^2 \neq \{0\}$ и $R$ не имеет двусторонних идеалов, отличных от $R$ и $\{0\}$.

Примеры и теоремы

• Рассмотрим кольцо $R$ такое, что $R^2 \neq \{0\}$, и аддитивная группа $\langle R, +\rangle$ имеет простой порядок. Тогда кольцо $R$ — простое, так как в $\langle R, + \rangle$ нет собственных подгрупп.
• Любое поле является простым кольцом, так как в поле нет собственных идеалов.
• Ассоциативное коммутативное кольцо $R$ с единицей является полем тогда и только тогда, когда $R$ простое кольцо.
• Если $P$ — поле, $n$ — положительное целое число, то кольцо матриц $\mathrm{Mat}(P, n)$ — простое.

Теорема Веддербёрна—Артина

Пусть $R$ — простое артиново кольцо. Тогда кольцо $R$ изоморфно кольцу всех матриц порядка $n$ над некоторым телом. При этом $n$ определено однозначно, а тело с точностью до изоморфизма. Обратно, для любого тела $D$ кольцо $\mathrm{Mat}(D, n)$ является простым артиновым кольцом.

Литература

• Херстейн И. Некоммутативные кольца. — М.: Мир, 1972.
• Джекобсон Н. Строение колец. — М.: Издательство иностранной литературы, 1961.
• Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра: Учебник. В 2-х т. Т. 2. — М.: Гелиос АРВ, 2003.