Целое алгебраическое число

Целое алгебраическое число

Целыми алгебраическими числами называются комплексные (и в частности вещественные) корни многочленов с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом, равным единице.

По отношению к сложению и умножению комплексных чисел, целые алгебраические числа образуют кольцо \Omega. Очевидно, \Omega является подкольцом поля алгебраических чисел и содержит все обычные целые числа.

Пусть u — некоторое комплексное число. Рассмотрим кольцо \mathbb{Z}[u], порождённое добавлением u к кольцу обычных целых чисел \mathbb{Z}. Оно образовано всевозможными значениями f(u), где f(z) — многочлен с целыми коэффициентами. Тогда имеет место следующий критерий: число u является целым алгебраическим числом тогда и только тогда, когда \mathbb{Z}[u] — конечнопорождённая абелева группа.

Содержание

Примеры целых алгебраических чисел

Свойства

  • Все рациональные числа, входящие в \Omega, являются на деле целыми числами. Другими словами, ни одна несократимая дробь m/n со знаменателем, большим единицы, целым алгебраическим числом быть не может.
  • Для каждого алгебраического числа u существует натуральное число n такое, что nu — целое алгебраическое число.
  • Корень любой степени из целого алгебраического числа тоже является целым алгебраическим числом.

История

Теорию целых алгебраических чисел создали в XIX веке Гаусс, Якоби, Дедекинд, Куммер и другие. Интерес к ней был, в частности, вызван тем, что исторически эта структура оказалась первой в математике, где было обнаружено неоднозначное разложение на простые множители. Классические примеры построил Куммер; скажем, в подкольце целых алгебраических чисел вида a+b\sqrt{-5} имеют место 2 разложения:

6 = 2 \cdot 3 = (1+\sqrt{-5}) \cdot (1-\sqrt{-5}),

причём в обоих случаях все множители — простые, то есть неразложимы в этом подкольце.

Исследование этой проблемы привело к открытию важных понятий идеала и простого идеала, в структуре которых разложение на простые множители стало возможным определить однозначно.

Литература

  • К. Айерлэнд, М. Роузен. Классическое введение в современную теорию чисел. Перевод с английского С. П. Демушкина под редакцией А. Н. Паршина. М.: Мир, 1987, глава 6.
  • Боревич З. И., Шафаревич И. P. Теория чисел. М., 1964.
  • Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.: Мир, 1975, глава 17: Целые алгебраические элементы.
  • Гекке Э. Лекции по теории алгебраических чисел, пер. с нем., М. — Л., 1940.
  • Гельфонд А. О. Трансцендентные и алгебраические числа, М., 1952.
  • Постников М. М. Введение в теорию алгебраических чисел



Wikimedia Foundation. 2010.

Поможем сделать НИР

Полезное


Смотреть что такое "Целое алгебраическое число" в других словарях:

  • Алгебраическое число — над полем   элемент алгебраического замыкания поля , то есть корень многочлена (не равного тождественно нулю) с коэффициентами из . Если поле не указывается, то предполагается поле рациональных чисел, то есть , в этом случае поле… …   Википедия

  • АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ЧИСЛО — Ч комплексное (в частности, действительное) число, являющееся корнем многочлена с рациональными коэффициентами, из к рых не все равны нулю. Если Ч А. ч., то среди всех многочленов с рациональными коэффициентами, имеющих своим корнем, существует… …   Математическая энциклопедия

  • АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ — уравнение вида где многочлен n й степени от одного или нескольких переменных . А. у. с одним неизвестным наз. уравнение вида: Здесь п целое неотрицательное число, наз. коэффициентами уравнения и являются данными, хназ. неизвестным и является… …   Математическая энциклопедия

  • Число (матем.) — Число, важнейшее математическое понятие. Возникнув в простейшем виде ещё в первобытном обществе, понятие Ч. изменялось на протяжении веков, постепенно обогащаясь содержанием по мере расширения сферы человеческой деятельности и связанного с ним… …   Большая советская энциклопедия

  • Простое число —         целое положительное число, большее, чем единица, не имеющее других делителей, кроме самого себя и единицы: 2, 3, 5, 7, 11, 13,... Понятие П. ч. является основным при изучении делимости натуральных (целых положительных) чисел; именно,… …   Большая советская энциклопедия

  • Число — I Число         важнейшее математическое понятие. Возникнув в простейшем виде ещё в первобытном обществе, понятие Ч. изменялось на протяжении веков, постепенно обогащаясь содержанием по мере расширения сферы человеческой деятельности и связанного …   Большая советская энциклопедия

  • Вычислимое число — В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете …   Википедия

  • КОМПЛЕКСНОЕ ЧИСЛО — число вида z=x+iy, где хи у действительные числа, а так наз. мнимая единица, т. е. число, квадрат к рого равен 1 (в технической литературе применяется также обозначение ); хназ. действительной, или вещественной, частью К. ч. z, а у его мнимой… …   Математическая энциклопедия

  • Рациональное число —         число, которое может быть представлено в виде дроби m и n целые числа (n ≠ 0). Т. к. целое число m можно представить в виде Поле алгебраическое). Основные правила действий над Р. ч. даются формулами:          k ≠ 0);          Р. ч. могут… …   Большая советская энциклопедия

  • P-адическое число — (произносится: пэ адическое)  элемент расширения поля рациональных чисел, являющегося пополнением поля рациональных чисел относительно p адической нормы, которая определяется на основе свойств делимости целых чисел на заданное простое число… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»