Теорема Куранта-Фишера

$\lambda_k = sup_{L_k} inf_{x \in L_k \cap S} (Ax,x)$

$A$ — линейный самосопряженный оператор действующий в конечномерном комплексном или действительном просторанстве,

$S$ — единичная сфера.

$e = e_1\dots e_n$ — ортонормированный базис пространства $V$.

$\lambda_k$ — k-ое собственное значение оператора А и $\lambda_1 \le \lambda_2 \le \dots \le \lambda_n$

$L_k$k-мерное подпространство V.

Доказательство

$p = n - k + 1$

$L_k$ — k-мерное подпространство V.

$W_{n-k+1}$ — линейная оболочка векторов $e_k \dots e_n$

$dim L_k + dim W_n-k+1 = n+1$. Откуда следует, что

$L_k \cap W_n-k+1 \neq {{\empty}}.$

Пусть $x_0 \in L_k \cap W_n-k+1$ и $\|x_0\| = 1$ Так как $\lambda_k = sup_{x \in V_k \cap S} (Ax, x),$ то $\frac{(Ax_0, x_0)}{(x_0, x_0)} \le \lambda_k$ С другой стороный так как $x_0 \in L_k$ то

$inf_{x \in L_k \cap S} (Ax, x) \le \lambda_k$

$sup_{L_k} inf_{x \in L_k \cap S} (Ax, x) \le \lambda_k$

Равенство достигается при $L_k = L({e_1 \dots e_k})$

Дополнительно

Очевидно, что $sup_{L_k} inf_{x \in L_k \cap S} (Ax, x) = inf_{L_{n-k+1}} sup_{x \in L_{n-k+1} \cap S} (Ax, x)$

Литература

1. Р. Беллман Введение в теорию матриц
2. Ланкстер Теория Матриц
3. Прасолов Задачи и Теоремы Линейной алгебры
4. Ильин, Ким Линейная алгебра и Аналитическая геометрия

Разделы математики

 

Портал «Наука»

Алгебра   Элементарная алгебра  • Линейная алгебра (Полилинейная алгебра)  • Абстрактная алгебра Абстрактная алгебра Коммутативная алгебра  • Теория представлений  • Дифференциальная алгебра  • Гомологическая алгебра  • Универсальная алгебра  • Теория категорий

Математический анализ   Вариационное исчисление  • Комплексный анализ  • Теория меры  • Функциональный анализ  • Гармонический анализ  • Нестандартный анализ

Геометрия и топология   Геометрия Алгебраическая геометрия  • Аналитическая геометрия  • Евклидова геометрия  • Неевклидова геометрия  • Планиметрия  • Стереометрия  • Тригонометрия Топология Общая топология  • Алгебраическая топология Смежные направления Дифференциальная геометрия и топология  • Геометрическая топология

Дискретная математика   Комбинаторика  • Теория графов  • Теория множеств  • Булева алгебра

Прикладная математика   Математическая физика  • Математическая химия  • Математическая статистика  • Математическое моделирование  • Теория алгоритмов  • Численные методы  • Математическая экономика, Финансовая математика  • Теория вероятностей  • Исследование операций

Математическая логика (алгебра логики)  • Теория чисел (арифметика)

Портал «Математика» | Категория «Математика»

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 17 июня 2012.