Теорема Каратеодори о продолжении меры

В теории меры теорема Каратеодори утверждает, что произвольная (счётно-аддитивная) мера на некотором кольце $\mathcal{R}$ подмножеств множества $X$ может быть продлена на σ-кольцо, порожденное кольцом $\mathcal{R}$. В случае σ-конечности меры такое продолжение является единственным. Из теоремы частности вытекает существование и единственность меры Бореля и меры Лебега.

Утверждение

Пусть $\mathcal{R}$ кольцо на множестве $\,\Omega$ и $\mu : R \to [0,+\infty]$ — мера на $\mathcal{R}$. Теорема Каратеодори утверждает, что существует мера $\mu' : \sigma(\mathcal{R}) \to [0,+\infty]$, такая, что $\,\mu'$ является продолжением $\,\mu$. (То есть, $\mu'_{|_R} = \mu$).

Здесь $\,\sigma(\mathcal{R})$ - $\sigma$-кольцо, порожденное $\mathcal{R}$.

Если мера $\mu$ σ-конечна, то $\mu'$ является единственной и также σ-конечной.

Полукольцо

В более общем виде такое продолжение существует для меры, заданной на полукольце, т.е. семьи подмножеств, удовлетворяющих условиям:

• $\varnothing \in S$
• Для всех $A, B \in S$, также $A \cap B \in S$
• Для всех $A, B \in S$, существуют такие попарно непересекающиеся множества $K_i \in S$, где $i = 1,2,\ldots,n$, что $A\setminus B = \biguplus K_i$ .

Однако этот случай легко сводится к предыдущему, поскольку каждое полукольцо порождает кольцо, элементами которого являются:

$R(S) = \{ A: A = \bigcup_{i=1}^{n}{A_i}, A_i \in S \}$

Также мера, заданная на полукольце, распространяется на все кольцо:

$\mu(A) = \sum_{p=1}^{n}{\mu(A_p)}$ for $A = \biguplus_{p=1}^{n}{A_p}$, with the A_p in S.

Построение продолжения

Пусть $\mu$ - мера, определенная на кольце $\mathcal{R}$ подмножеств множества $\Omega \,$.

Тогда можно определить $\mu^*$ - функцию, определенную на $A\in\mathcal{P}(X)$ так:

$\mu^*(A)=\mathrm{inf}\{\sum_{k=1}^{+\infty}\mathrm{\mu}\,(E_k)\,\mid\,E_k\in\mathcal{R},\,A\subset\bigcup_{k=1}^{+\infty}E_k\}.$

Данная функция является внешней мерой, порожденной мерой $\mu$. Обозначим $\mathcal{M}_\mu$ семью подмножеств $A$ множества $\Omega \,$, для которых выполняется: Для всех $E\subset \Omega \,$, $\mu^*(E\cap A)+\mu^*(E\setminus A)=\mu^*(E)$.

Тогда $\mathcal{M}_\mu$ является σ-кольцом, и на нем можно определить меру $\overline\mu(A) = \mu^* (A)$ для всех $A \in \mathcal{M}_\mu$. Определенная таким образом функция является мерой, которая совпадает с $\mu$ на множествах кольца $\mathcal{R}$. Также $\mathcal{M}_\mu$ содержит σ-алгебру $\,\sigma(\mathcal{R})$ и сужение $\overline\mu$ на элементы $\,\sigma(R)$ и будет необходимым расширением меры.

σ-кольцо $\mathcal{M}_\mu$ является пополнением кольца $\,\sigma(\mathcal{R})$, соответственно, они совпадают, если определенная мера на $\,\sigma(\mathcal{R})$ является полной.

Примеры

• Если на действительной прямой взять полукольцо $\mathcal{S}$ интервалов $[a,b], \quad a < b$, где мера $[a,b]$ равна (b-a), то представленная конструкция дает определение меры Бореля на борелевских множествах $\,\sigma (\mathcal{S})$. Множеству $\mathcal{M}_\mu$ здесь соответствует множество измеримых по Лебегу множеств.
• Условие σ-конечности является необходимым для единственности продолжения. Например, на множестве $X$ всех рациональных чисел промежутка [0 , 1] можно задать полукольцо рациональных чисел промежутка [a , b), где a < b - рациональные числа из промежутка [0 , 1]. σ-кольцо, порожденное этим полукольцом, является множеством всех подмножеств $X$. Задав теперь $\mu(A)$, равное количеству элементов A и $\mu^'(A)= 2 \mu(A)$, имеем, что обе меры совпадают на полукольце и порожденном кольце (поскольку все непустые множества полукольца и кольца являются безграничными, то обе меры на всех этих множествах равны $\infty$), но не совпадают на порожденном σ-кольце. То есть, в данном случае продолжение не является единственным.

Литература

• Халмош П.Р. Теория меры. М.: Изд-во иностр. лит., 1953
• Дороговцев А.Я. Элементы общей теории меры и интеграла. Киев, 1989