Теорема Лежандра (сферическая тригонометрия)

Теорема Лежандра в сферической тригонометрии позволяет упростить решение сферического треугольника, если известно, что его стороны достаточно малы по сравнению с радиусом сферы, на которой он расположен.

Формулировка

Сферический треугольник.

Пусть дан сферический треугольник со сторонами $a, b, c\,$, малыми по сравнению с радиусом сферы $R\,$, углами $\alpha, \beta, \gamma\,$ и эксцессом $\varepsilon=\alpha+\beta+\gamma-\pi\,$. Построим на плоскости треугольник со сторонами $a', b', c'\,$, равными по длине соответствующим сторонам данного сферического треугольника, то есть, поскольку для сторон сферического треугольника принята угловая мера, и они выражаются в радианах, то $a'=aR, b'=bR, c'=cR\,$. Обозначим углы такого треугольника (выраженные в радианах) через $\alpha', \beta', \gamma'\,$. Теорема Лежандра утверждает, что справедливы соотношения^[1]:

$\alpha'\approx\alpha-\frac{\varepsilon}{3}$

$\beta'\approx\beta-\frac{\varepsilon}{3}$

$\gamma'\approx\gamma-\frac{\varepsilon}{3}$

Таким образом, если стороны сферического треугольника малы по сравнению с радиусом сферы, мы можем заменить его на плоский треугольник с такими же по длине сторонами и на треть эксцесса меньшими углами и вычислять элементы плоского треугольника.

История

Эта теорема была сформулирована А.М.Лежандром в 1787 году^[2] и доказана им в 1798 году^[3]. Однако, по некоторым источникам, она была известна ещё в 1740 году, когда Ш.М. де ла Кондамин использовал её при обработке градусных измерений перуанской экспедиции^[4].

Примечания

1. ↑ Степанов Н. Н. §55. Теорема Лежандра // Сферическая тригонометрия. — М.—Л.: ОГИЗ, 1948. — С. 141-143. — 154 с.
2. ↑ Legendre A.M.: Mémoire sur les opérations trigonométriques, dont les résultats dépendent de la figure de la Terre. Histoire de l’Académie royale de sciences, Paris 1787; 352-383.
3. ↑ Legendre A.M.: Méthode pour déterminer la longueur exacte du quart du méridien d’après les observations faites pour la mesure de l’arc compris entre Dunkerque et Barcelone, Note III: Résolution des triangles sphériques dont des côtés sont très petits par rapport au rayon de la sphère. J.B. Delembre: Méthodes analytiques pour la détermination d’un arc du méridien, Paris 1798; 12-14
4. ↑ Zbyněk Nádeník Legendre theorem on spherical triangles.