Круговое поле


Круговое поле

Круговое поле, или поле деления круга степени n — это поле K_n = \mathbb {Q}(u), порождённое присоединением к полю рациональных чисел \mathbb {Q} первообразного корня n-й степени из единицы u. Круговое поле является подполем поля комплексных чисел.

Название поля связано с тем, что деление единичной окружности на n равных частей равносильно построению первообразного корня из единицы n-й степени на комплексной плоскости. Исследование круговых полей сыграло значительную роль в создании и развитии теории целых алгебраических чисел, теории чисел и теории Галуа.

Пример: K_3 состоит из комплексных чисел вида a+b \sqrt{3}\ i, где a, b — рациональные числа.

Содержание

Свойства

  • Круговое поле содержит все корни n-й степени из единицы, а также результаты арифметических действий над ними. Оно не зависит от выбора первообразного корня n-й степени из единицы.
  • K_{4n+2} = K_{2n+1}, поэтому обычно предполагается, что остаток от деления n на 4 не равен 2 (n \not \equiv 2 \pmod{4}). При выполнении этого условия разным n соответствуют неизоморфные круговые поля.
  • Поле K_n является абелевым расширением поля {\mathbb Q} с группой Галуа G (K_n / {\mathbb Q}) \simeq (\Z/n\Z)^*,
где (\Z/n\Z)^* — мультипликативная группа классов вычетов по модулю n. Степень расширения [K_n : {\mathbb Q}] равна φ(n) (функция Эйлера).

Теорема Кронекера — Вебера: всякое абелево конечное расширение поля рациональных чисел содержится в некотором круговом поле.

См. также

Литература

Ссылки



Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Круговое поле" в других словарях:

  • КРУГОВОЕ ПОЛЕ — поле деления круг а, поле получающееся присоединением к полю рациональных чисел первообразного корня из единицы степени га, где п некоторое натуральное число. Иногда (локальным) круговым полем наз. также поле вида где поле рациональных р… …   Математическая энциклопедия

  • КРУГОВОЕ РАСШИРЕНИЕ — поля k расширение K, получаемое присоединением к k первообразного корня из единицы нек рой степени п. Иногда термин К. р. относят и к любому промежуточному подполю расширения Кнад k. К. р. наз. также бесконечное алгебраич. расширение, являющееся… …   Математическая энциклопедия

  • ДЕЛЕНИЯ КРУГА ПОЛЕ — то же, что круговое поле …   Математическая энциклопедия

  • Корни из единицы — Корни пятой степени из единицы (вершины пятиугольника) Корни n й степени из единицы  комплексные корни многочлена …   Википедия

  • "ЧЕЛЛЕНДЖЕР" —        Танк хотя и относится к третьему послевоенному поколению, представляет собой развитие конструкции танка второго поколения. Линия танков наглядно показывает конструкторский консерватизм англичан и их особый путь в мировом танкостроении с… …   Энциклопедия техники

  • КОРЕНЬ — 1) К. степени n из числа a число n я степень х п к рого равна а. 2) К. алгебраического уравнения над полем К элемент к рый после подстановки его вместо хобращает уравнение в тождество. К. этого уравнения наз. также и К. многочлена Если сявляется… …   Математическая энциклопедия

  • АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ЧИСЛО — Ч комплексное (в частности, действительное) число, являющееся корнем многочлена с рациональными коэффициентами, из к рых не все равны нулю. Если Ч А. ч., то среди всех многочленов с рациональными коэффициентами, имеющих своим корнем, существует… …   Математическая энциклопедия

  • РАЗНОСТНОЕ МНОЖЕСТВО — совершенное разностное множество, множество D, состоящее из kвычетов но модулю некрого натурального числа , причем для каждого , , существует точно l упорядоченных пар (di, dj).элементов из Dтаких, что числа наз. п а р а м е т р а м и Р. м. Напр …   Математическая энциклопедия

  • Осколочно-пучковый снаряд — «Василиск» …   Википедия

  • Круговой многочлен — Круговой многочлен, или многочлен деления круга многочлен вида где представляет собой корень степени из единицы, а произведение берётся по всем натуральным числам , меньшим , и взаимно простым с …   Википедия