- Круговое поле
-
Круговое поле, или поле деления круга степени n — это поле
, порождённое присоединением к полю рациональных чисел
первообразного корня n-й степени из единицы
. Круговое поле является подполем поля комплексных чисел.
Название поля связано с тем, что деление единичной окружности на n равных частей равносильно построению первообразного корня из единицы n-й степени на комплексной плоскости. Исследование круговых полей сыграло значительную роль в создании и развитии теории целых алгебраических чисел, теории чисел и теории Галуа.
Пример:
состоит из комплексных чисел вида
, где
— рациональные числа.
Содержание
Свойства
- Круговое поле содержит все корни n-й степени из единицы, а также результаты арифметических действий над ними. Оно не зависит от выбора первообразного корня n-й степени из единицы.
- Следствие: круговое поле является полем разложения многочлена
.
- Следствие: круговое поле является полем разложения многочлена
, поэтому обычно предполагается, что остаток от деления n на 4 не равен 2 (
). При выполнении этого условия разным n соответствуют неизоморфные круговые поля.
- Поле
является абелевым расширением поля
с группой Галуа
- где
— мультипликативная группа классов вычетов по модулю n. Степень расширения
равна φ(n) (функция Эйлера).
Теорема Кронекера — Вебера: всякое абелево конечное расширение поля рациональных чисел содержится в некотором круговом поле.
См. также
Литература
- Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. М.: Мир, 1987.
- Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.: Мир, 1975.
Ссылки
- Milne, James S. Algebraic Number Theory. Course Notes (1998). Архивировано из первоисточника 2 апреля 2012.
Категории:- Алгебраические числа
- Теория полей
- Круговое поле содержит все корни n-й степени из единицы, а также результаты арифметических действий над ними. Оно не зависит от выбора первообразного корня n-й степени из единицы.
Wikimedia Foundation. 2010.