Первообразный корень (абстрактная алгебра)

У этого термина существуют и другие значения, см. Первообразный корень.

Первообразный корень (или примитивный корень) степени $m$ из единицы в поле $K$ ― это такой элемент $\xi\in K$, что $\xi^m = 1$ и $\xi^\ell \not= 1$ для любого натурального $\ell<m$.

Элемент $\xi$, порождает циклическую группу корней из единицы порядка $m$.

Свойства

• Если в поле $K$ существует первообразный корень степени $m$, то $m$ взаимно просто с характеристикой поля $K$.
• Алгебраически замкнутое поле содержит первообразный корень любой степени, взаимно простой с характеристикой поля.
• Если $\xi$ ― первообразный корень степени $m$, то для любого $\ell$ взаимно простого с $m$, элемент $\xi^\ell$ также является первообразным корнем. Откуда, в частности, следует, что число всех первообразных корней степени $m$ (когда они существуют) равно значению функции Эйлера $\varphi(m)$.
• В поле комплексных чисел первообразные корни степени m имеют вид:

  $e^{2\pi{i}\ell/m}=\cos\frac{2\pi\ell}{m}+i\sin\frac{2\pi\ell}{m}$

где $\ell$ взаимно просто с $m$.

• В конечном поле $\mathbb{F}_q$, где q — степень простого числа, первообразный корень степени $q - 1$ является образующим (циклической) мультипликативной группы этого поля и называется примитивным элементом.