Абелево расширение

В абстрактной алгебре абелево расширение поля — расширение Галуа, для которого группа Галуа является абелевой. Важным частным примером является циклическое расширение, для которого группа Галуа является циклической.

Например, расширение $\Q [\sqrt 2]$ является абелевым. Его группа Галуа состоит из двух элементов и является абелевой. Нетривиальный автоморфизм переставляет местами числа $\sqrt 2$ и $- \sqrt 2.$

Вместо того расширение $\Q [\sqrt[3]{2}, \sqrt 3 i]$ не является абелевым. Данное поле является полем разложения многочлена $x^3 - 2$ и его автоморфизмы, фиксирующие $\Q,$ переставляют разные корни этого многочлена. Поэтому группа Галуа этого расширения является симметрической группой порядка 3 и не является абелевой.

Произвольное конечное расширение конечного поля является циклическим расширением. Важным примером абелевого расширения является циклотомические (круговые расширения), что получаются присоединением к полю корней из единицы. В случае поля рациональных чисел, вследствие такого расширения получаются круговые поля. Согласно теореме Кронекера — Вебера произвольное абелево расширение рациональных чисел является подполем некоторого кругового поля.

Если поле содержит первообразный корень из единицы степени n, то расширение получено присоединением к нему корня степени n из некоторого элемента (расширение Куммера) является абелевым расширением. Для общего случая это утверждение не является верным.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Abelian Extension (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.