- КРУГОВОЕ РАСШИРЕНИЕ
поля k - расширение K, получаемое присоединением к k первообразного корня из единицы нек-рой степени п. Иногда термин "К. р." относят и к любому промежуточному подполю расширения Кнад k. К. р. наз. также бесконечное алгебраич. расширение, являющееся объединением конечных К. р. Важный пример К. р. - круговые поля, отвечающие случаю, когда
- поле рациональных чисел.
Пусть поле kимеет характеристику 0 и
- его К. р., полученное присоединением первообразного корня
Тогда поле
является композитом kи кругового поля
Поэтому многие свойства круговых полей переносятся и на К. р. Напр.,
будет нормальным абелевым расширением поля k(причем ото справедливо и для полей положительной характеристики), группа Галуа расширения
является подгруппой группы Галуа расширения
в частности, ее порядок делит
где
- функция Эйлера.
Если k - поле алгебраич. чисел, то в расширении
могут ветвиться только простые девизоры, делящие п, хотя при
дивизор поля k, делящий п, может остаться неразветвленным в
К. р. поля алгебраич. чисел с группой Галуа Г, изоморфной аддитивной группе целых l-адических чисел Zl, наз. круговыми Г-расширениями (см. [2], [3], [4]). Такое Г-расширение
в случае, когда
имеет вид
где
Лит.:[1] Ленг С., Алгебра, пер. с англ., М., 1968; [2] Шафаревич И. Р., Дзета-функция, М., 1969; [3] Кузьмин Л. В., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1972, т. 36, №2, с. 267-327; [4] I w a s a w а К., "Ann. Math.", 1973, v. 98, №2, p. 246 - 326. Л. В. Кузьмин.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.