Постоянная Апери

Иррациональные числа γ - ζ(3) — √2 — √3 — √5 — φ — α — e — π — δ

Постоя́нная Апери́ (англ. Apéry's constant) в математике — это вещественное число, обозначаемое ζ(3) (иногда ζ₃), которое равно сумме обратных к кубам целых положительных чисел и, следовательно, является частным значением дзета-функции Римана:

$\zeta(3)=\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^3}=\frac{1}{1^3}+\frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} +\frac{1}{4^3} + \dots\; .$

Численное значение постоянной Апери выражается бесконечной непериодической десятичной дробью^[1]

$\displaystyle\zeta(3) =$ 1,202 056 903 159 594 285 399 738 161 511 449 990 764 986 292 … (последовательность A002117 в OEIS)

Она была названа в честь математика греческо-французского происхождения Роже Апери (Roger Apéry, 1916—1994), который в 1978 году доказал, что ζ(3) является иррациональным числом — результат, известный как теорема Апери (англ.)^[2][3]. Неизвестно, является ли постоянная Апери трансцендентным числом.

Эта постоянная давно привлекала интерес математиков — ещё в 1735 году Леонард Эйлер^[4][5] вычислил её с точностью до 16 значащих цифр (1,202056903159594).

Приложения в математике и физике

Двухпетлевая диаграмма Фейнмана, результат для которой содержит ζ(3)

В математике постоянная Апери встречается во многих приложениях. В частности, величина, обратная ζ(3) даёт вероятность того, что любые три случайным образом выбранных положительных целых числа будут взаимно просты — в том смысле, что при $N\to\infty$ вероятность того, что три положительных целых числа, меньших, чем ${\textstyle{N}}$ (и выбранных случайным образом) будут взаимно простыми, стремится к 1/ζ(3).

Постоянная Апери естественным образом возникает в ряде проблем физики, включая поправки второго (и выше) порядков к аномальному магнитному моменту электрона в квантовой электродинамике. Например, результат для двухпетлевой диаграммы Фейнмана, изображённой на рисунке, даёт 6ζ(3) (здесь предполагается 4-мерное интегрирование по импульсам внутренних петель, содержащих только безмассовые виртуальные частицы, а также соответствующая нормировка, включая степень импульса внешней частицы k). Другой пример — двумерная модель Дебая.

Связь с другими функциями

Постоянная Апери связана с частным значением полигамма-функции второго порядка

$\zeta(3) = -\tfrac{1}{2} \, \psi^{(2)}(1) \;$

и появляется в разложении гамма-фунции в ряд Тейлора

$\Gamma(1+\varepsilon) = e^{-\gamma\varepsilon} \left[ 1 + \tfrac{1}{12}\pi^2 \varepsilon^2 - \tfrac{1}{3} \zeta(3) \varepsilon^3 +O(\varepsilon^4) \right] \; ,$

где в виде $e^{-\gamma\varepsilon}$ факторизуются вклады, содержащие постоянную Эйлера—Маскерони ${\textstyle{\gamma}}$.

Постоянная Апери также связана со значением трилогарифма Li₃(z) (частный случай полилогарифма Li_n(z)) при $z=1$,

$\zeta(3) = \mathrm{Li}_3(1) \frac{}{}.$

Представления в виде рядов

Некоторые другие ряды, члены которых обратны к кубам натуральных чисел, также выражаются через постоянную Апери:

$\zeta(3) = \tfrac{4}{3} \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{k^3} = \tfrac{4}{3} \left( 1-\frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} -\frac{1}{4^3} + \cdots \right) \; ,$

$\zeta(3) = \tfrac{8}{7} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^3} = \tfrac{8}{7} \left( 1+\frac{1}{3^3} + \frac{1}{5^3} +\frac{1}{7^3} + \cdots \right) \; .$

Другие известные результаты — сумма ряда, содержащего гармонические числа ${\textstyle{H_k}}$

$\zeta(3) = \tfrac{1}{2} \sum_{k=1}^\infty \frac{H_k}{k^2}\; ,$

а также двукратная сумма

$\zeta(3) = \tfrac{1}{2} \sum_{j=1}^\infty \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{jk(j+k)}\; .$

Для доказательства иррациональности ζ(3) Роже Апери^[2] пользовался представлением

$\zeta(3) = \tfrac{5}{2} \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \frac{(k!)^2}{k^3 (2k)!} = \tfrac{5}{2} \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{k^3 \binom{2k}{k}} \; ,$

где ${\textstyle{\binom{2k}{k}}=\frac{(2k)!}{k!^2}}$ — биномиальный коэффициент.

В 1773 году Леонард Эйлер^[6] привёл представление в виде ряда^[7] (которое впоследствии было неcколько раз заново открыто в других работах)

$\zeta(3)=\tfrac{1}{7} \pi^2 \left[ 1-4\sum_{k=1}^\infty \frac {\zeta (2k)} {(2k+1)(2k+2) 2^{2k}} \right] \; ,$

в котором значения дзета-функции Римана чётных аргументов могут быть представлены как ${\textstyle{\zeta(2k) = (-1)^{k+1} (2\pi)^{2k} B_{2k}/(2(2k)!)}}$, где ${\textstyle{B_{2k}}}$ — числа Бернулли.

Рамануджан даёт несколько представлений в виде рядов, которые замечательны тем, что они обеспечивают несколько новых значащих цифр на каждой итерации. Они включают в себя (см. главу 14, уравнения 25.1 и 25.3 книги^[8])

$\zeta(3)=\tfrac{7}{180}\pi^3 -2 \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 (e^{2\pi k} -1)}$

Симон Плуффе (Simon Plouffe) получил ряды другого типа^[9]

$\zeta(3)= 14 \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 \sinh(\pi k)} -\tfrac{11}{2} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 (e^{2\pi k} -1)} -\tfrac{7}{2} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 (e^{2\pi k} +1)} \; ,$

а также аналогичные представления для других постоянных ζ(2n+1).

Были также получены другие представления в виде рядов, включая

$\zeta(3) = \tfrac{1}{4} \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \frac{(56k^2-32k+5)(k-1)!^3}{(2k-1)^2(3k)!}$

$\zeta(3)=\tfrac{8}{7}-\tfrac{8}{7}\sum_{k=1}^\infty \frac{{\left( -1 \right) }^k\,2^{-5 + 12\,k}\,k\, \left( -3 + 9\,k + 148\,k^2 - 432\,k^3 - 2688\,k^4 + 7168\,k^5 \right) \, {k!}^3\,{\left( -1 + 2\,k \right) !}^6}{{\left( -1 + 2\,k \right) }^3\, \left( 3\,k \right) !\,{\left( 1 + 4\,k \right) !}^3}$

$\zeta(3) = \tfrac{1}{64} \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{(205k^2 + 250k + 77)\cdot k!^{10}}{(2k+1)!^5}$

$\zeta(3) = \tfrac{1}{24} \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{((2k+1)!(2k)!k!)^3 (126392k^5 + 412708k^4 + 531578k^3 + 336367k^2 + 104000k + 12463)}{(3k+2)!\cdot (4k+3)!^3}$

Некоторые из этих представлений были использованы для вычисления постоянной Апери со многими миллионами значащих цифр.

Дэвид Бродхёрст (D. J. Broadhurst) получил представление в виде ряда^[10], которое даёт возможность вычислить произвольный бит постоянной Апери.

Вычисление десятичных цифр

Число известных значащих цифр постоянной Апери $\zeta(3)$ значительно выросло за последние десятилетия благодаря как увеличению компьютерных мощностей, так и улучшению алгоритмов^[11].

Число известных значащих цифр постоянной Апери ζ(3)

Дата	Количество значащих цифр	Авторы вычисления
1735	16	Леонард Эйлер[4][5]
1887	32	Томас Иоаннес Стилтьес
1996	0Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,».Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,»520 000	Greg J. Fee & Simon Plouffe
1997	0Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,».Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,»1 000 000	Bruno Haible & Thomas Papanikolaou
1997, май	0Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,».Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,»10 536 006	Patrick Demichel
1998, февраль	0Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,».Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,»14 000 074	Sebastian Wedeniwski
1998, март	0Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,».Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,»32 000 213	Sebastian Wedeniwski
1998, июль	0Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,».Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,»64 000 091	Sebastian Wedeniwski
1998, декабрь	0Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,».Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,»128 000 026	Sebastian Wedeniwski[12]
2001, сентябрь	0Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,».Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,»200 001 000	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
2002, февраль	0Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,».Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,»600 001 000	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
2003, февраль	0Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,».Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,»1 000 000 000	Patrick Demichel & Xavier Gourdon
2006, апрель	0Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,».Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,»10 000 000 000	Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo[13]
2009, январь	0Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,».Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,»15 510 000 000	Alexander J. Yee & Raymond Chan[14]
2009, март	0Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,».Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,»31 026 000 000	Alexander J. Yee & Raymond Chan[14]
2010, сентябрь	0Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,».Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,»100 000 001 000	Alexander J. Yee[15]

Другие постоянные вида ζ(2n+1)

Существует много исследований, посвящённых другим значениям дзета-функции Римана в нечётных точках ζ(2n+1) при n>1. В частности, в работах Вадима Зудилина (Wadim Zudilin) и Т. Ривола (Tanguy Rivoal) показано, что иррациональными является бесконечное множество чисел ζ(2n+1)^[16], а также что по крайней мере одно из чисел ζ(5), ζ(7), ζ(9), или ζ(11) является иррациональным^[17].

Примечания

1. ↑ Simon Plouffe, «Zeta(3) or Apery constant to 2000 places», <http://www.worldwideschool.org/library/books/sci/math/MiscellaneousMathematicalConstants/chap97.html>. Проверено 8 февраля 2011. 
2. ↑ ^{1 2} Roger Apéry (1979), "«Irrationalité de ζ(2) et ζ(3)»", Astérisque Т. 61: 11–13 
3. ↑ A. van der Poorten (1979), "«A proof that Euler missed... Apéry’s proof of the irrationality of ζ(3). An informal report»", The Mathematical Intelligencer Т. 1: 195–203, doi:10.1007/BF03028234, <http://www.maths.mq.edu.au/~alf/45.pdf>. Проверено 8 февраля 2011. 
4. ↑ ^{1 2} Leonhard Euler (1741), "«Inventio summae cuiusque seriei ex dato termino generali (13 октября 1735 г.)»", Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae Т. 8: 173–204, <http://math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E047.pdf>. Проверено 9 февраля 2011. 
5. ↑ ^{1 2} Leonhard Euler (translation by Jordan Bell, 2008), "«Finding the sum of any series from a given general term»", arXiv:0806.4096, <http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0806/0806.4096v1.pdf>. Проверено 9 февраля 2011. 
6. ↑ Leonhard Euler (1773), "«Exercitationes analyticae»", Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae Т. 17: 173–204, <http://math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E432.pdf>. Проверено 8 февраля 2011. 
7. ↑ H. M. Srivastava (2000), "«Some Families of Rapidly Convergent Series Representations for the Zeta Functions»", Taiwanese Journal of Mathematics Т. 4 (4): 569–598, ISSN 1027-5487, <http://www.math.nthu.edu.tw/~tjm/abstract/0012/tjm0012_3.pdf>. Проверено 8 февраля 2011. 
8. ↑ Bruce C. Berndt (1989), «Ramanujan's notebooks, Part II», Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96794-3, <http://www.springer.com/mathematics/numbers/book/978-0-387-96794-3>. Проверено 8 февраля 2011. 
9. ↑ Simon Plouffe (1998), «Identities inspired from Ramanujan Notebooks II», <http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/identities.html>. Проверено 8 февраля 2011. 
10. ↑ D. J. Broadhurst (1998), «Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of ζ(3) and ζ(5)», arXiv (math.CA/9803067), <http://arxiv.org/abs/math.CA/9803067>. Проверено 8 февраля 2011. 
11. ↑ X. Gourdon & P. Sebah, «Constants and Records of Computation», numbers.computation.free.fr, <http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html>. Проверено 8 февраля 2011. 
12. ↑ Sebastian Wedeniwski (2001), «The Value of Zeta(3) to 1,000,000 places», Project Gutenberg 
13. ↑ Xavier Gourdon & Pascal Sebah (2003), «The Apéry's constant: ζ(3)», <http://numbers.computation.free.fr/Constants/Zeta3/zeta3.html>. Проверено 8 февраля 2011. 
14. ↑ ^{1 2} Alexander J. Yee & Raymond Chan (2009), «Large Computations», <http://www.numberworld.org/nagisa_runs/computations.html>. Проверено 8 февраля 2011. 
15. ↑ Alexander J. Yee (2010), «Zeta(3) - Apery's Constant», <http://www.numberworld.org/digits/Zeta%283%29/>. Проверено 8 февраля 2011. 
16. ↑ T. Rivoal (2000), "«La fonction zeta de Riemann prend une infnité de valuers irrationnelles aux entiers impairs»", Comptes Rendus Acad. Sci. Paris Sér. I Math. Т. 331: 267–270 
17. ↑ В. В. Зудилин Одно из чисел ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) иррационально // УМН. — 2001. — В. 4(340). — Т. 56. — С. 149–150.

Ссылки

• Ю. И. Манин, А. А. Панчишкин I.2.4. Диофантовы приближения и иррациональность ζ(3) // Введение в теорию чисел. — ВИНИТИ, 1990. — Т. 49. — С. 83—89. — 341 с. — (Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления».).
• V. Ramaswami (1934), "«Notes on Riemann's ζ-function»", J. London Math. Soc. Т. 9: 165–169, doi:10.1112/jlms/s1-9.3.165, <http://jlms.oxfordjournals.org/content/s1-9/3/165.full.pdf> 
• Weisstein, Eric W. Apéry's constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.