Полигамма-функция

Дигамма-функция $\psi(x)$

Тригамма-функция $\psi'(x)$

Тетрагамма-функция $\psi''(x)$

Пентагамма-функция $\psi'''(x)$

Полига́мма-фу́нкция порядка m в математике определяется как (m+1)-я производная натурального логарифма гамма-функции,

$\psi^{(m)}(z) = \frac{{\rm d}^m}{{\rm d}z^m} \psi(z) = \frac{{\rm d}^{m+1}}{{\rm d}z^{m+1}} \ln\Gamma(z) \; ,$

где $\Gamma(z)$ — гамма-функция, а

$\psi(z) = \psi^{(0)}(z) = \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}$

— дигамма-функция, которую также можно определить через сумму следующего ряда:

$\psi(z) = \psi^{(0)}(z) = -\gamma + \sum\limits_{k=0}^{\infty} \left(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+z}\right)\;,$

где ${\textstyle{\gamma}}$ — постоянная Эйлера—Маскерони. Это представление справедливо для любого комлексного $z\neq 0, \; -1, \; -2, \; -3, \ldots$ (в указанных точках функция ${\textstyle{\psi(z)}}$ имеет сингулярности первого порядка).

Полигамма-функцию также можно определить через сумму ряда

$\psi^{(m)}(z) = (-1)^{m+1}\; m!\; \sum\limits_{k=0}^\infty \displaystyle{\frac{1}{(z+k)^{m+1}}}\;, \qquad m>0 \;,$

который получается из представления для дигамма-функции дифференцированием по z. Это представление также справедливо для любого комлексного $z\neq 0, \; -1, \; -2, \; -3, \ldots$ (в указанных точках функция ${\textstyle{\psi^{(m)}(z)}}$ имеет сингулярности порядка (m+1)). Оно может быть записано через дзета-функцию Гурвица,

$\psi^{(m)}(z) = (-1)^{m+1}\; m!\; \zeta (m+1,z) \; .$

В этом смысле дзета-функция Гурвица может быть использована для обобщения полигамма-функции на случай произвольного (нецелого) порядка m.

Отметим, что в литературе ${\textstyle{\psi^{(m)}(z)}}$ иногда обозначается как ${\textstyle{\psi_{m}(z)}}$ или явным образом указываются штрихи для производных по z. Функция ${\textstyle{\psi'(z)=\psi^{(1)}(z)}}$ называется тригамма-функцией, ${\textstyle{\psi''(z)=\psi^{(2)}(z)}}$ — тетрагамма-функцией, ${\textstyle{\psi'''(z)=\psi^{(3)}(z)}}$ — пентагамма-функцией, ${\textstyle{\psi''''(z)=\psi^{(4)}(z)}}$ — гексагамма-функцией, и т.д.

Интегральное представление

Полигамма-функция может быть представлена как

$\psi^{(m)}(z)= (-1)^{m+1}\int_0^\infty \frac{t^m e^{-zt}} {1-e^{-t}} {\rm d}t$

Это представление справедливо для Re z >0 и m > 0. При m=0 (для дигамма-функции) интегральное представление может быть записано в виде

$\psi(z) = \psi^{(0)}(z)= -\gamma + \int_0^\infty \frac{e^{-t} - e^{-zt}} {1-e^{-t}} {\rm d}t = -\gamma + \int_0^1 \frac{1-t^{z-1}}{1-t} {\rm d}t\; ,$

где ${\textstyle{\gamma}}$ — постоянная Эйлера—Маскерони.

Асимптотические разложения

При $z\to\infty\;$ ($\;|\operatorname{arg}\;{z}|<\pi$) справедливо следующее разложение с использованием чисел Бернулли:

$\psi^{(m)}(z) = (-1)^{m-1} \left[ \frac{(m-1)!}{z^m} + \frac{m!}{2z^{m+1}} + \sum_{k=1}^\infty \frac{(2k+m-1)!\; B_{2k}}{(2k)!\; z^{2k+m}} \right]$

Разложение в ряд Тейлора вблизи аргумента, равного единице, имеет вид

$\psi^{(m)}(z+1)= \sum_{k=0}^\infty (-1)^{m+k+1} (m+k)!\; \zeta (m+k+1)\; \frac {z^k}{k!} \; ,$

где ζ обозначает дзета-функцию Римана. Этот ряд сходится при |z| < 1, и он может быть получен из соответствующего ряда для дзета-функции Гурвица.

Частные значения

Значения полигамма-функции при целых и полуцелых значениях аргумента выражаются через дзета-функцию Римана,

$\psi^{(m)}(1) = (-1)^{m+1} m!\; \zeta(m+1)\; , \qquad m>0$

$\psi^{(m)}(\tfrac12) = (-1)^{m+1} m!\; (2^{m+1}-1)\;\zeta(m+1)\; , \qquad m>0 \;,$

а для дигамма-функции (при m=0) —

$\psi(1)=\psi^{(0)}(1)=-\gamma \; ,$

$\psi(\tfrac12)=\psi^{(0)}(\tfrac12)=-\gamma-2\ln{2}\; ,$

где ${\textstyle{\gamma}}$ — постоянная Эйлера—Маскерони.

Чтобы получить значения полигамма-функции при других целых (положительных) и полуцелых значениях аргумента, можно использовать рекуррентное соотношение, приведённое ниже.

Другие формулы

Полигамма-функция удовлетворяет рекуррентному соотношению

$\psi^{(m)}(z+1)= \psi^{(m)}(z) + \frac{(-1)^m\; m!}{z^{m+1}} \;,$

а также формуле дополнения

$\psi^{(m)}(1-z)+(-1)^{m+1}\;\psi^{(m)}(z) = (-1)^m \pi \frac{{\rm d}^m}{{\rm d}z^m}\cot(\pi z)\; .$

Для полигамма-функции кратного аргумента существует следующее свойство:

$\psi^{(m)}(kz) = \frac{1}{k^{m+1}} \sum_{n=0}^{k-1} \psi^{(m)}\left(z+\frac{n}{k}\right), \qquad m>0$

а для дигамма-функции ($m = 0$) к правой части надо добавить lnk,

$\psi(kz) = \ln{k} + \frac{1}{k}\sum_{n=0}^{k-1} \psi\left(z+\frac{n}{k}\right).$

См. также

• Дигамма-функция
• Тригамма-функция

Ссылки

• Milton Abramowitz, Irene A. Stegun §6.4 Polygamma Functions // Handbook of Mathematical Functions. — Dover Publications, 1964. — ISBN 0-486-61272-4
• Weisstein, Eric W. Polygamma Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.