Куб (алгебра)

У этого термина существуют и другие значения, см. Куб (значения).

y=x³, при целых значениях x на отрезке от 1 до 25

Кубом числа называется результат умножения числа на само себя трижды (возведения числа в степень 3). Куб величины $x$ обозначается так:

$x^3$.

Последовательность кубов

Далее приведено начало числовой последовательности для кубов неотрицательных чисел (последовательность A000578 в OEIS):

0, 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744, 3375, 4096, 4913, 5832, 6859, 8000, 9261, 10648, 12167, 13824, 15625, 17576, 19683, 21952, 24389, 27000, 29791, 32768, 35937, 39304, 42875, 46656, 50653, 54872, 59319, 64000, 68921, 74088, 79507, 85184, 91125, 97736, 103823, 110592, 117649, 125000, 132651, 140608, 148877, 157464, 166375, 175616, 185193, 195112, 205379, 216000, 226981, 238328…

Сумма кубов первых $n$ положительных натуральных чисел вычисляется по формуле: $\sum_{i=1}^n i^3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = \left(\frac {n(n+1)}{2}\right)^2$

Вывод формулы

Формулу суммы кубов можно вывести, используя таблицу умножения и формулу суммы арифметической прогрессии^[1]. Рассматривая в качестве иллюстрации метода две таблицы умножения 5×5, проведём рассуждения для таблиц размером n×n.

Таблица умножения и кубы чисел × 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 2 2 4 6 8 10 3 3 6 9 12 15 4 4 8 12 16 20 5 5 10 15 20 25

Таблица умножения и арифметическая прогрессия × 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 2 2 4 6 8 10 3 3 6 9 12 15 4 4 8 12 16 20 5 5 10 15 20 25

Сумма чисел в k-ой (k=1,2,…) выделенной области первой таблицы:

$k^2+2 k\sum_{l=1}^{k-1} l=k^2+2k\frac{k(k-1)}{2}=k^3$

А сумма чисел в k-ой (k=1,2,…) выделенной области второй таблицы, представляющих собой арифметическую прогрессию:

$k\sum_{l=1}^{n} l=k\frac{n(n+1)}{2}$

Суммируя по всем выделенным областям первой таблицы, получаем такое же число, как и суммируя по всем выделенным областям второй таблицы:

$\sum_{k=1}^n k^3=\sum_{k=1}^n k\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}\sum_{k=1}^n k=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$

Геометрический смысл

Куб числа равен объёму куба с длиной ребра, равной этому числу.

Некоторые свойства

• В десятичной записи куб может кончаться на любую цифру (в отличие от квадрата)
• В десятичной записи две последние цифры куба могут быть 00, 01, 03, 04, 07, 08, 09, 11, 12, 13, 16, 17, 19, 21, 23, 24, 25, 27, 28, 29, 31, 32, 33, 36, 37, 39, 41, 43, 44, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 56, 57, 59, 61, 63, 64, 67, 68, 69, 71, 72, 73, 75, 76, 77, 79, 81, 83, 84, 87, 88, 89, 91, 92, 93, 96, 97, 99. Зависимость предпоследней цифры куба от последней можно представить в виде следующей таблицы:

последняя цифра	предпоследняя цифра
0	0
5	2, 7
4, 8	чётная
2, 6	нечётная
1, 3, 7, 9	любая

См. также

• Кубический корень — обратная операция по отношению к возведению в куб.
• Квадрат

Примечания

1. ↑ Роу С. Геометрические упражнения с куском бумаги. — 2-е изд. — Одесса: Матезис, 1923. — С. 68—70.