Постоянная Гельфонда

Постоянная Гельфонда — трансцендентное число $e^\pi$ (то есть e в степени π). Названа в честь Александра Осиповича Гельфонда. Доказательство трансцендентности этого числа — один из пунктов седьмой проблемы Гильберта.

Численное значение

Десятичное представление постоянной Гельфонда:

$e^\pi \approx 23,140692632779269\ldots$

Его приближённые значения можно получать^[1], используя рекуррентно определённую последовательность

$k_n=\frac{1-\sqrt{1-k_{n-1}^2}}{1+\sqrt{1-k_{n-1}^2}},$ где $k_0 = \frac{1}{\sqrt{2}}.$

А именно,

$e^\pi \approx (\frac{1}{4} k_n)^{-2^{1-n}}.$

причём сходимость таких приближений к $e^{\pi}$ достаточно быстрая.

Численное значение постоянной также представимо в виде простой непрерывной дроби^[2]: [23, 7, 9, 3, 1, 1, 591, 2, 9, 1, 2, 34, …].

Свойства

Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

Тождество Эйлера:

$(e^\pi)^i = -1$

Примечания

1. ↑ Jonathan M. Borwein, David H. Bailey Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century. — Wellesley, MA: AK Peters, 2003. — P. 137. — 350 p. — ISBN 978-1568812113
2. ↑ последовательность A058287 в OEIS

См. также

• Постоянная Гельфонда — Шнайдера $(2^\sqrt{2})$

Литература

• Weisstein, Eric W. Gelfond’s Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Gelfond’s Constant (англ.) на сайте PlanetMath.
• David Wells The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. — Middlesex, England: Penguin Books, 1987. — P. 81. — 229 p. — ISBN 978-0140080292
• Lennart Berggren, Jonathan Borwein, Peter Borwein Pi: A Source Book. — New York: Springer Verlag, 1997. — P. 422. — 716 p. — ISBN 978-0387949246