Квадратный корень из 2

Квадратный корень из 2 равен длине гипотенузы в прямоугольном треугольнике с длиной катетов 1.

Квадратный корень из числа 2 — положительное вещественное число, которое при умножении само на себя даёт число 2. Обозначение: $\sqrt{2}.$ Приведём значение корня из 2 с 65 знаками после запятой:

1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679 737 99…

Геометрически корень из 2 можно представить как длину диагонали квадрата со стороной 1 (это следует из теоремы Пифагора). Вероятно, это было первое известное в истории математики иррациональное число (то есть число, которое нельзя точно представить в виде дроби).

Квадратный корень из 2.

Хорошим и часто используемым приближением к $\sqrt{2}$ является дробь $\tfrac{99}{70}$. Несмотря на то, что числитель и знаменатель дроби лишь двузначные целые, оно отличается от реального значения меньше, чем на 1/10000.

Иррациональные числа γ - ζ(3) — √2 — √3 — √5 — φ — α — e — π — δ
Система счисления	Оценка числа √2
Двоичная	1.0110101000001001111…
Десятичная	1.4142135623730950488…
Шестнадцатеричная	1.6A09E667F3BCC908B2F…
Непрерывная дробь	$1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}}$

История

Вавилонская глиняная табличка с примечаниями.

Вавилонская глиняная табличка (ок. 1800—1600 до н. э.) даёт приближённое значение $\sqrt{2}$ в четырёх шестидесятеричных цифрах, что составляет 8 десятичных цифр:

$1 + \frac{24}{60} + \frac{51}{60^2} + \frac{10}{60^3} = 1.41421\overline{296}.$

Другое раннее приближение этого числа в древнеиндийском математическом тексте, Шульба-сутры (ок. 800—200 до н. э.) даётся следующим образом:

$1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \cdot 4} - \frac{1}{3 \cdot4 \cdot 34} = \frac{577}{408} \approx 1.414215686.$

Пифагорейцы обнаружили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, или на современном языке, что квадратный корень из двух является иррациональным. Мало что известно с определённостью о времени и обстоятельствах этого выдающегося открытия, но традиционно его авторство приписывается Гиппасу из Метапонта.

Алгоритмы вычисления

Существует множество алгоритмов для вычисления значения квадратного корня из двух. В результате алгоритма получается приблизительное значение $\sqrt{2}$ в виде обыкновенной или десятичной дроби. Самый популярный алгоритм для этого, который используется во многих компьютерах и калькуляторах, это вавилонский метод вычисления квадратных корней. Он состоит в следующем:

$a_{n+1} = \frac{a_n + \frac{2}{a_n}}{2}=\frac{a_n}{2}+\frac{1}{a_n}.$

Чем больше повторений в алгоритме (то есть, чем больше «n»), тем лучше приближение квадратного корня из двух. Каждое повторение приблизительно удваивает количество правильных цифр. Приведём несколько первых приближений:

• 3/2 = 1.5
• 17/12 = 1.416…
• 577/408 = 1.414215…
• 665857/470832 = 1.4142135623746…

В 1997 году Ясумаса Канада вычислил значение √2 до 137,438,953,444 десятичных знаков после запятой. В феврале 2007 года рекорд был побит: Шигеру Кондо вычислил 200 миллиардов десятичных знаков после запятой в течение 13 дней и 14 часов, используя процессор 3.6 GHz с 16 ГБ ОЗУ. Среди математических констант только $\pi$ было вычислено более точно.

Свойства квадратного корня из двух

Половина √2 приблизительно равна 0.70710 67811 86548; эта величина даёт в геометрии и тригонометрии координаты единичного вектора,образующего угол 45° с координатными осями:

$\frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \cos(45^\circ) = \sin(45^\circ).$

Одно из интересных свойств √2 состоит в следующем:

$\!\ {1 \over {\sqrt{2} - 1}} = \sqrt{2} + 1$.Потому что $(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=2-1=1.$

Это является результатом свойства серебряного сечения.

Другое интересное свойство √2:

$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2 + \cdots}}} = 2.\,$

Квадратный корень из двух может быть выражен в мнимых единицах i используя только квадратные корни и арифметические операции:

$\frac{\sqrt{i}+i \sqrt{i}}{i}$ и $\frac{\sqrt{-i}-i \sqrt{-i}}{-i}.$

Квадратный корень из 2 является единственным числом, отличным от 1, чья бесконечная тетрация равна его квадрату.

$\sqrt{2}^ {\sqrt{2}^ {\sqrt{2}^ {\ \cdot^ {\cdot^ \cdot}}}} = 2$

Квадратный корень из двух может быть также использован для приближения π:

$2^m\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2}}}} \to \pi\text{ as }m \to \infty\,$

С точки зрения высшей алгебры, $\sqrt{2}$ является корнем многочлена $x^2-2$ и поэтому является целым алгебраическим числом. Множество чисел вида $a+b\sqrt{2}$, где $~a, b$ — рациональные числа, образует алгебраическое поле. Оно обозначается $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ и является подполем поля вещественных чисел.

Доказательство иррациональности

Применим доказательство от противного: допустим, $\sqrt{2}$ рационален, то есть представляется в виде несократимой дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ и $n$ — целые числа. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

$\sqrt{2} = \frac{m}{n} \Rightarrow 2 = \frac{m^2}{n^2} \Rightarrow m^2 = 2n^2$.

Отсюда следует, что $m^2$ чётно, значит, чётно и $m$. Пусть $m=2r$, где $r$ целое. Тогда

$(2r)^2=2n^2 \Rightarrow n^2=2r^2$

Следовательно, $n^2$ чётно, значит, чётно и $n$. Мы получили, что $m$ и $n$ чётны, что противоречит несократимости дроби $\frac{m}{n}$. Значит, исходное предположение было неверным, и $\sqrt{2}$ — иррациональное число.

Непрерывная дробь

Квадратный корень из двух может быть представлен в виде непрерывной дроби:

$\!\ \sqrt{2} = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}}.$

Подходящие дроби данной непрерывной дроби дают приближённые значения, быстро сходящиеся к точному квадратному корню из двух. Способ их вычисления прост: если обозначить предыдущую подходящую дробь $\frac {m}{n}$, то последующая имеет вид $\frac {m+2 n}{m+n}$. Скорость сходимости здесь меньше, чем у метода Ньютона, но вычисления гораздо проще. Выпишем несколько первых приближений:

$\frac {3}{2}; \ \frac {7}{5}; \ \frac {17}{12}; \ \frac {41}{29}; \ \frac {99}{70}; \ \frac {239}{169}; \ \frac {577}{408}; \ \frac {1393}{985}; \ \frac {3363}{2378} \dots$

Квадрат последней приведенной дроби равен (округлённо) 2,000000177.

Размер бумаги

Квадратный корень из двух является пропорцией формата бумаги ISO 216. Соотношение сторон таково, что при разрезании листа пополам параллельно его короткой стороне получатся два листа той же пропорции.

См. также

• Иррациональность
• Теорема Виета