Серебряное сечение

Серебряное сечение
Иррациональные числа
γ - ζ(3) — 2 — 3 — 5 — φ — α — e — π — δ

Серебряное сечение — это математическая константа, выражающая некоторое геометрическое соотношение, выделяемое эстетически. В отличие от золотого сечения, по аллюзии с которым оно названо, серебряное сечение не имеет единого определения.

Описание вещественного числа
Двоичная система счисления 10.0110101000001001111…
Десятичная система счисления 2.4142135623730950488…
Шестнадцатеричная система счисления 2.6A09E667F3BCC908B2F…
Непрерывная дробь 2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{\ddots}}}}

Наиболее последовательным определением является следующее:

две величины находятся в «серебряном сечении», если отношение суммы меньшей и удвоенной большей величины к большей то же самое, что и отношение большей величины к меньшей. Серебряное сечение — иррациональное, но алгебраическое, число, равное приблизительно 2,4142135623 или точно 1+\sqrt{2}.


По крайней мере в последнее время, некоторые художники и архитекторы считают это отношение «красивым». Возможно, они опираются на теорию динамических прямоугольников (англ.) Джея Хембриджа (англ.). Математики исследовали серебряное отношение со времён древнегреческой науки (хотя такое название, возможно, появилось только недавно), так как оно связано с квадратным корнем из 2, его подходящими дробями, квадратными треугольными числами (англ.), числами Пелля, восьмиугольником и др.

Irrationality of sqrt2.svg

Обозначим далее серебряное сечение за \delta_S (общепринятого обозначения нет). Соотношение, описанное в определении выше, записывается алгебраически так:

 \frac{b+2a}{a} = \frac{a}{b} = \delta_S\,.

Это уравнение имеет единственный положительный корень.

Доказательство:

\frac{b+2*a}{a}=\frac{a}{b}
b*b+2*a*b = a^2
(a+b)*(a+b) = 2*a^2
a+b = a*\sqrt{2}
b = (\sqrt{2}-1)*a
\frac{a}{b} = \frac{a}{(\sqrt{2}-1)*a} = \frac{1}{\sqrt{2}-1} = \sqrt{2}+1 = \delta_S
\delta_S = {1+\sqrt{2}}\approx 2{,}41421\,35623\ldots\, (последовательность A014176 в OEIS)

На рисунке справа даётся геометрическое доказательство, что корень из двух — иррационален, при этом отношения  \frac{AB}{BE}=\frac{AC}{FC}=\delta_S.

Содержание

Формулы

  • \delta_S = 1 + \sqrt{2} \approx 2{,}414\, 213\, 562\, 373\, 095\, 048\, 801\, 688\, 724\, 210. Это следует из (\delta_S-1)^2=2\, .

\delta_S = 2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}\, .

подходящие дроби этой непрерывной дроби (2/1, 5/2, 12/5, 29/12, 70/29, …) являются отношениям последовательных чисел Пелля. Эти дроби дают хорошие рациональные аппроксимации (англ.) серебряного сечения, аналогично тому, что золотое сечение приближается отношениями последовательных чисел Фибоначчи.

Другие определения

Встречаются и другие определения серебряного сечения.

Например, отталкиваясь от определения золотого сечения через цепную дробь, серебряными называют любые цепные дроби, в которых знаменатели постоянны:

[n; n, n, n, \dots].

Для использования в процентном делении используется отношение, близкое к одной из вышеуказанных подходящих дробей, — 71/29 (в сумме дают 100).

Также встречается определение серебряного сечения: отношение целого отрезка к меньшему как длины окружности к ее диаметру, то есть пи. Особенно этим увлекается поэт, писатель и исследователь старины Андрей Чернов (см. библиографию).

« Другими словами, надо развернуть окружность в отрезок прямой, а потом отложить с любого его конца диаметр окружности.

Если «золото» — простая геометрическая симметрия и способ гармонизации прямого, то «серебро» — гармония, сопрягающая прямое и круглое.
А. Чернов

»

Так, он предполагает, что именно в серебряном сечении разбиваются части некоторых литературных произведений: Медный всадник" А. С. Пушкина и «Слово о полку Игореве». Также в отношении размаха рук человека к его росту Чернов видит число \frac{2\Phi}{\pi}=1{,}03\dots, где Φ — число Фидия.

Литература

Ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Серебряное сечение" в других словарях:

  • Золотое сечение — У этого термина существуют и другие значения, см. Золотое сечение (значения). Иррациональные числа γ ζ(3)  √2  √3  √5  φ  α  e  π  δ …   Википедия

  • Пи (число) — У этого термина существуют и другие значения, см. Пи (значения). Иррациональные числа γ ζ(3)  √2  √3  √5  φ  α  e  π  δ Система счисления Оценка числа …   Википедия

  • Число — У этого термина существуют и другие значения, см. Число (значения). Число  основное понятие математики[1], используемое для количественной характеристики, сравнения и нумерации объектов. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей… …   Википедия

  • Миллион — 1 000 000 один миллион 999 999 · 1 000 000 · 1 000 001 Факторизация: Римская запись: Mn Двоичное: 11110100001001000000 Восьмеричное: 3641100 Шестнадцатеричное: F4240 …   Википедия

  • Миллиард — 1 000 000 000 один миллиард 999 999 999 · 1 000 000 000 · 1 000 000 001 Факторизация: Римская запись: Mn n n Двоичное: 111011100110101100101000000000 Восьмеричное: 7346545000 …   Википедия

  • Триллион — (сокращённо трлн)  натуральное число, изображаемое единицей с 12 нулями ( 01000000000000. 01 000 000 000 000 = 1012, тысяча миллиардов или миллион миллионов) в системе наименования чисел с короткой шкалой (в том числе и в …   Википедия

  • Гугол — (от англ. googol)  число, в десятичной системе счисления изображаемое единицей со 100 нулями: 10100 = 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 …   Википедия

  • Гуголплекс — (от англ. googolplex) число, равное десяти в степени гугол: 1010100 или 1010 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000. Как и гугол, термин… …   Википедия

  • Мириада — (др. греч. μύριας)  сотня сотен, десять тысяч, то есть число 10000, 104. В древнерусском счёте это же число носило название «тьма». Слово устарело и практически не используется, но широко используется слово «мириады», которое означает… …   Википедия

  • Асанкхейя — (санскр., отсюда кит. 阿僧祇 «асэнци»  неисчислимый)  число, изображаемое единицей со 140 нулями, 10140. Также, asaṃkhyeya  хиндуистскоебуддийское название числа 10140 или, как показано в Аватамсака сутре, числа 10(a*2b), значения a и …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»