Иррациональность

Иррациональность

Иррациона́льное число́ — это вещественное число, которое не является рациональным, то есть которое не может быть представленным в виде дроби \frac{m}{n}, где m — целое число, n — натуральное число. О существовании иррациональных чисел, точнее отрезков, несоизмеримых с отрезком единичной длины, знали уже древние математики: им была известна, например, несоизмеримость диагонали и стороны квадрата, что равносильно иррациональности числа \sqrt 2.

Множество иррациональных чисел обычно обозначается \mathbb I. Таким образом

\mathbb I =\R\backslash  \Q

— множество иррациональных чисел есть разность множеств вещественных и рациональных чисел.

Содержание

Свойства

  • Всякое вещественное число может быть записано бесконечной десятичной дробью, при этом иррациональные числа и только они записываются непериодическими бесконечными десятичными дробями.
  • Иррациональные числа определяют Дедекиндовы сечения в множестве рациональных чисел, у которых в нижнем классе нет наибольшего, а в верхнем нет наименьшего числа.
  • Каждое трансцендентное число является иррациональным.
  • Каждое иррациональное число является либо алгебраическим, либо трансцендентным.
  • Множество иррациональных чисел всюду плотно на числовой прямой: между любыми двумя числами имеется иррациональное число.
  • Множество иррациональных чисел несчётно, является множеством второй категории.

Теоремы

\sqrt{2} — иррациональное число

Допустим противное: \sqrt{2} рационален, то есть представляется в виде несократимой дроби \frac{m}{n}, где m и nцелые числа. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

\sqrt{2} = \frac{m}{n} \Rightarrow 2 = \frac{m^2}{n^2} \Rightarrow m^2 = 2n^2.

Отсюда следует, что m2 чётно, значит, чётно и m. Пускай m = 2r, где r целое. Тогда

(2r)^2=2n^2 \Rightarrow n^2=2r^2

Следовательно, n2 чётно, значит, чётно и n. Мы получили, что m и n чётны, что противоречит несократимости дроби \frac{m}{n}. Значит, исходное предположение было неверным, и \sqrt{2} — иррациональное число.

log23 — иррациональное число

Допустим противное: log23 рационален, то есть представляется в виде дроби \frac{m}{n}, где m и nцелые числа. Поскольку log23 > 0, m и n могут быть выбраны положительными. Тогда

\log_2 3 = \frac{m}{n} \Rightarrow m = n \log_2 3 \Rightarrow 2^m = 2^{n \log_2 3} = \left (2^{\log_2 3}\right )^n = 3^n

Но 2m чётно, а 3n нечётно. Получаем противоречие.

e — иррациональное число

См. раздел «Доказательство иррациональности» в статье «e».

Другие иррациональные числа

Иррациональными являются:

  • \sqrt{n} для любого натурального n, не являющегося точным квадратом
  • ex для любого рационального x\ne 0
  • lnx для любого положительного рационального x\ne 1
  • π, а также πn для любого натурального n



Wikimedia Foundation. 2010.

Синонимы:

Смотреть что такое "Иррациональность" в других словарях:

  • иррациональность — непостижимость, трансцендентность, непознаваемость, нерациональность Словарь русских синонимов. иррациональность см. непознаваемость Словарь синонимов русского языка. Практический справочник. М.: Русский яз …   Словарь синонимов

  • ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЬ — ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЬ, иррациональности, мн. нет, жен. (книжн.). отвлеч. сущ. к иррациональный. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 …   Толковый словарь Ушакова

  • иррациональность — ИРРА ИОНАЛЬНЫЙ, ая, ое; лен, льна. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 …   Толковый словарь Ожегова

  • ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЬ — недоступность рассудку. Иррациональное (лат. irrationalis – неразумное) – то, что не может быть постигнуто разумом, что явно не подчиняется законам логики, что оценивается как «сверхразумное», «противоразумное»; ср. Трансинтеллигибельный,… …   Философская энциклопедия

  • иррациональность — иррациональное число иррациональное выражение иррациональный — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы иррациональное числоиррациональное… …   Справочник технического переводчика

  • Иррациональность — I ж. отвлеч. сущ. по прил. иррациональный I II ж. отвлеч. сущ. по прил. иррациональный II Толковый словарь Ефремовой. Т. Ф. Ефремова. 2000 …   Современный толковый словарь русского языка Ефремовой

  • иррациональность — иррациональность, иррациональности, иррациональности, иррациональностей, иррациональности, иррациональностям, иррациональность, иррациональности, иррациональностью, иррациональностями, иррациональности, иррациональностях (Источник: «Полная… …   Формы слов

  • Иррациональность — (см. Иррационализм) 1) недоступный рассудку; то, что не может быть постигнуто разумом, что явно не подчиняется законам логики, что оценивается как «сверхразумное», «противоразумное» (противоположный рациональный); 2) (в математике) несоизмеримый… …   Начала современного естествознания

  • иррациональность — иррацион альность, и …   Русский орфографический словарь

  • Иррациональность —         математик. теория взаимно несоизмеримых величин. В значительной мере идентична совр. теории иррациональных чисел, однако в античности не было понятия иррационального числа …   Словарь античности

Книги

Другие книги по запросу «Иррациональность» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.