p-адическое число

Для заданного фиксированного простого числа p p-ади́ческое число (произносится: пэ-адическое; соответственно: два-адическое, три-адическое и т.п.) — элемент расширения поля рациональных чисел, являющегося пополнением поля рациональных чисел относительно p-адической нормы, определяемой на основе свойств делимости целых чисел на р.

p-адические числа были введены Гензелем (нем.) в 1897 году^[1].

Поле p-адических чисел обычно обозначается $\mathbb Q_p$ или $\mathbf Q_p$.

Алгебраическое построение

Целые p-адические числа

Стандартное определение

Целым p-адическим числом для заданного простого p называется бесконечная последовательность $x=\{x_1,x_2,\ldots\}$ вычетов $x_n$ по модулю $p^{n}$, удовлетворяющих условию:

$x_n\equiv x_{n+1}\pmod{p^n}.$

Сложение и умножение целых p-адических чисел определяется как почленное сложение и умножение таких последовательностей. Для них непосредственно проверяются все аксиомы кольца.

Определение через проективный предел

В терминах проективных пределов кольцо целых $p$-адических чисел определяется как предел

$\lim_{\leftarrow}\Bbb{Z} / {p^n}\Bbb{Z}$

колец $\Bbb{Z} / {p^n}\Bbb{Z}$ вычетов по модулю $p^n$ относительно естественных проекций $\Bbb{Z}/{p^{n+1}}\Bbb{Z} \to \Bbb{Z}/{p^n}\Bbb{Z}$.

Эти рассмотрения можно провести в случае не только простого числа $p$, но и любого составного числа $m$ — получится т. н. кольцо $m$-адических чисел, но это кольцо в отличие от $\Bbb{Z}_p$ обладает делителями нуля, поэтому дальнейшие построения, рассматриваемые ниже, к нему неприменимы.

Свойства

Кольцо целых p-адических чисел обычно обозначается $\Bbb{Z}_p$. Обычные целые числа вкладываются в $\Bbb{Z}_p$ очевидным образом: $x=\{x,x,\ldots\}$ и являются подкольцом.

Пример выполнения арифметических операций над 5-адическими числами.

Беря в качестве элемента класса вычетов число $a_n = x_n\,\bmod\,{p^n}$ (таким образом, $0\le a_n<p^n$), мы можем записать каждое целое p-адическое число в виде $x=\{a_1,a_2,\ldots\}$ однозначным образом. Такое представление называется каноническим. Записывая каждое a_n в p-ичной системе счисления $a_n=b_n\ldots b_2b_1$ и, учитывая, что $a_n\equiv a_{n+1}\pmod{p^n},$ мы можем всякое p-адическое число в каноническом виде представить в виде $x=\{b_1, b_2b_1, b_3b_2b_1,\ldots\}$ или записать в виде бесконечной последовательности цифр в p-ичной системе счисления $x=\{\ldots b_n\ldots b_2b_1\}$. Действия над такими последовательностями производятся по обыкновенными правилами сложения, вычитания и умножения «столбиком» в p-ичной системе счисления.

В такой форме записи натуральным числам и нулю соответствуют p-адические числа с конечным числом ненулевых цифр, совпадающих с цифрами исходного числа. Отрицательным числам соответствуют p-адические числа с бесконечным числом ненулевых цифр, например в пятеричной системе −1=…4444=(4).

p-адические числа

Определение как поля частных

p-адическим числом называется элемент поля частных $\Bbb{Q}_p$ кольца $\Bbb{Z}_p$ целых p-адических чисел. Это поле называется полем p-адических чисел.

Свойства

Поле p-адических чисел содержит в себе поле рациональных чисел.

Пример выполнения деления 5-адических чисел.

Нетрудно доказать, что любое целое p-адическое число некратное p обратимо в кольце $\Bbb{Z}_p$, а кратное p однозначно записывается в виде $xp^n$, где x не кратно p и поэтому обратимо, а $n>0$. Поэтому любой ненулевой элемент поля $\Bbb{Q}_p$ может быть записан в виде $xp^n$, где x не кратно p, а n любое; если n отрицательно, то, исходя из представления целых p-адических чисел в виде последовательности цифр в p-ичной системе счисления, мы можем записать такое p-адическое число в виде последовательности $x=\{\ldots b_k\ldots b_2b_1,b_0b_{-1}\ldots b_{n+1}\}$, то есть, формально представить в виде p-ичной дроби с конечным числом цифр после запятой и, возможно, бесконечным числом ненулевых цифр до запятой. Деление таких чисел можно также производить аналогично «школьному» правилу, но начиная с младших, а не старших разрядов числа.

Метрическое построение

Любое рациональное число $r$ можно представить как $r=p^n\frac ab$ где $a$ и $b$ целые числа, не делящиеся на $p$, а $n$ — целое. Тогда $|r|_p$ — $p$-адическая норма $r$ — определяется как $p^{-n}$. Если $r=0$, то $|r|_p=0$.

Поле $p$-адических чисел есть пополнение поля рациональных чисел с метрикой $d_p$, определённой $p$-адической нормой: $d_p(x,y)=|x-y|_p$. Это построение аналогично построению поля вещественных чисел как пополнения поля рациональных чисел при помощи нормы, являющейся обычной абсолютной величиной.

Норма $|r|_p$ продолжается по непрерывности до нормы на $\Bbb{Q}_p$.

Свойства

• Каждый элемент x поля p-адических чисел может быть представлен в виде сходящегося ряда

$x=\sum_{i=n_0}^\infty a_ip^i$

где $n_0$ — некоторое целое число, а $a_i$ — целые неотрицательные числа, не превосходящие $p-1$. А именно, в качестве $a_i$ здесь выступают цифры из записи x в системе счисления с основанием p. Такая сумма всегда сходится в метрике $d_p$ к самому $x$.

• p-адическая норма $|x|_p$ удовлетворяет сильному неравенству треугольника

$|x-z|_p\le\max\{|x-y|_p,|y-z|_p\}.$

• Числа $x\in \mathbb Q_p$ с условием $|x|_p\le 1$ образуют кольцо $\Bbb{Z}_p$ целых p-адических чисел, являющееся пополнением кольца целых чисел $\Bbb{Z}\subset \Bbb{Q}$ в норме $|x|_p$.
• Числа $x\in \Bbb{Q}_p$ с условием $|x|_p= 1$ образуют мультипликативную группу и называются p-адическими единицами.
• Совокупность чисел $x\in \Bbb{Q}_p$ с условием $|x|_p<1$ является главным идеалом в $\Bbb{Z}_p$ с образующим элементом p.

• метрическое пространство $(\Bbb{Q}_p,d_p)$ гомеоморфно Канторову множеству, а пространство $(\Bbb{Q}_p,d_p)$ гомеоморфно Канторову множеству с вырезанной точкой.
• Для различных p нормы $|x|_p$ независимы, а поля $\Bbb{Q}_p$ неизоморфны.
• Для любых элементов $r_\infty$, $r_2$, $r_3$, $r_5$, $r_7$, … таких, что $r_\infty \in \Bbb R$ и $r_p\in \Bbb Q_p$, можно найти последовательность рациональных чисел $x_n$ таких, что для любого p $|x_i-r_p|_p\to 0$ и $|x_i-r_\infty|\to 0$.

Применения

• Если $F(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ — многочлен с целыми коэффициентами, то разрешимость при всех k сравнения

$F(x_1,x_2,\cdots,x_n)\equiv 0 \pmod{p^k}$

эквивалентна разрешимости уравнения

$F(x_1,x_2,\cdots,x_n) = 0$

в целых p-адических числах. Необходимым условием разрешимости этого уравнения в целых или рациональных числах является его разрешимость в кольцах или, соответственно, полях p-адических чисел при всех p, а также в поле вещественных чисел. Для некоторых классов многочленов (например, для квадратичных форм) это условие является также достаточным.

На практике для проверки разрешимости уравнения в целых p-адических числах достаточно проверить разрешимость указанного сравнения для определенного конечного числа значений k. Например, согласно лемме Гензеля (англ.), при $n=1$ достаточным условием для разрешимости сравнения при всех натуральных k служит наличие простого решения у сравнения по модулю p (то есть, простого корня у соответствующего уравнения в поле вычетов по модулю p). Иначе говоря, при $n=1$ для проверки наличия корня у уравнения в целых p-адических числах, как правило, достаточно решить соответствующее сравнение при $k=1$.

Литература

• Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел, — М.: Наука, 1985.
• Коблиц Н. р-адические числа, р-адический анализ и дзета-функции, — М.: Мир, 1982.
• Серр Ж.-П. Курс арифметики, — М.: Мир, 1972.
• Б. Беккер, С. Востоков, Ю. Ионин 2-адические числа // Квант. — 1979. — Т. 2. — С. 26—31.

Ссылки

1. ↑ Kurt Hensel Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. — 1897. — Т. 6. — № 3. — С. 83—88. (нем.)