Нормирование

Запрос «Абсолютное значение» перенаправляется сюда; о значении Абсолютная величина см. Абсолютная величина.

Норми́рование — отображение элементов поля F в некоторое упорядоченное поле P  x→||x||, обладающее следующими свойствами:

1)  $~||x|| \geqslant 0$ и $~||x|| = 0$ только при $x = 0$

2)  $~||xy|| = ||x|| \cdot ||y||$

3)  $||x+y|| \leqslant ||x||+||y||$

Если вместо 3) выполняется более сильное условие:

3a)  $||x+y|| \leqslant max(||x||,||y||)$, то нормирование называется неархимедовым.

Значение $~||x||$ называется нормой элемента x. Если упорядоченное поле P является полем вещественных чисел R, то нормирование часто называют абсолютным значением.

Примеры нормирований

• Нормирование, при котором ||0||=0, ||x||=1 для остальных x. Такое нормирование называется тривиальным.
• Обычная абсолютная величина в поле вещественных чисел R и модуль в поле комплексных чисел C являются нормированием.
• Пусть Q — поле рациональных чисел, а p — некоторое простое число. Любое рациональное число можно представить в виде дроби x=apⁿ/b, где a и b не кратны p. Можно определить следующее нормирование |x|_p=p^-n. Это нормирование является неархимедовым и называется p-адическим нормированием.

Свойства нормы

• |1| = |-1| = 1
• | |x|-|y| |≤|x-y| (в этом случае абсолютная величина в упорядоченном поле P берётся от разности двух норм |x|-|y| элементов поля F)
• Вещественнозначное нормирование является неархимедовым тогда и только тогда, когда существует положительное число A, такое, что для любой суммы единичных элементов поля F :

3b)  $|| 1+1+...+1 || \leqslant A$

Пусть данное условие выполнено. Тогда для любых элементов x и y из поля F имеем:

|(x+y)ⁿ|=|xⁿ+…C_nⁱxⁿyⁱ+…yⁿ|≤(n+1)A(max(|x|,|y|)ⁿ

Извлекая из обеих частей корень и переходя к пределу при n→∞ получаем условие 3a). Обратное утверждение очевидно.

Нормированное поле как метрическое пространство

Из свойств 1-3 немедленно следует, что определяя расстояние между двумя элементами вещественнозначного нормированного поля F как норму разности ||x-y|| мы превращеем его в метрическое пространство, в случае неархимедовой нормы — в ультраметрическое пространство. Разные нормы определяют разные метрики. Если при этом они определяют одинаковую топологию в F, то такие нормы называются зависимыми.

Пополнение

Как и для любого метрического пространства можно ввести понятие полноты и доказать, что любое нормированное поле F изоморфно вкладывается в полное нормированное поле F*, то есть существует изоморфизм $i:F \rightarrow F^*$. Норма в F* продолжает норму в F, то есть для каждого x из F: $||i(x)||_{F^*}=||x||$, причём F плотно в F* относительно этой нормы. Любое такое поле F* определено однозначно с точностью до изоморфизма, сохраняющего нормы (изометрии) и тождественного на F; оно называется пополнением поля F.

Пример. Пополнением поля рациональных чисел Q с p-адической метрикой является поле p-адических чисел Q_p.

Литература

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра — М: Наука. 1975.
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра т.2 — М: ИЛ. 1963.
• Ленг С. Алгебра — М: Мир. 1967.